이매고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

이매고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

이매고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 대응에서 그래프의 변형과 역함수로 이어지고, 경우의 수에서는 기본 순열부터 조건이 붙은 배분과 좌석 배치까지 다룹니다.

초반의 점근선, 순열 기호, 합의 법칙, 무리식 계산은 개념을 정확히 적용하는 문항입니다. 중반으로 가면 절댓값 함수의 역함수 존재 조건, 반복 합성의 규칙, 함수의 개수처럼 표현을 바꾸어야 해결되는 문제가 등장합니다. 공식을 아는 것과 그 공식을 적용할 대상을 정하는 능력을 함께 준비해야 합니다.

후반은 긴 계산보다 조건 사이의 관계를 찾는 과정이 중요합니다. 함수에서는 가능한 출력값을 제한하거나 치역을 비교하고, 순열조합에서는 배분 모양이나 좌석의 제약으로 경우를 나눕니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 기준으로 분류할지 적어 두면 계산 도중 같은 경우를 다시 세는 일을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 점근선의 이동 방향, 순열과 조합의 구분, 합의 법칙에서 사건이 겹치는지 확인하는 기본기를 다룹니다. 이 구간에서는 풀이를 과하게 늘리기보다 조건과 기호를 정확히 읽어 시간을 확보하세요.

보통은 6~13번과 21번입니다. 그래프가 함수인지와 일대일대응인지를 구별하는 판단, 자리 조건이 있는 자연수 세기, 치환을 통한 역함수 정리 등이 포함됩니다. 반복 합성은 매번 계산하기보다 값이 되돌아오는 지점을 찾는 것이 효율적입니다.

자동 분류 기준 어려움은 14~20번입니다. 함수의 대응 조건, 제한된 배분, 치역에 따른 교점 수처럼 여러 단계의 판단이 필요합니다. 이는 실제 응시 결과에 따른 난도 순위가 아니며, 마지막 번호가 반드시 가장 어렵다는 뜻도 아닙니다. 21번까지 전체를 살펴 접근 가능한 문제부터 해결하세요.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건 처리

가장 많은 순열조합은 2·3번의 기본 계산에서 7번의 자리 조건, 11번의 함수 개수로 이어집니다. 후반의 15·19·20번에서는 상자별 개수 제한, 인접 좌석 제한, 물건의 구별 여부가 중요합니다. 선택하는 단계와 나열하는 단계를 분리하고, 각 단계에서 무엇이 서로 다른 경우인지 설명하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 대응 그림, 절댓값 그래프, 반복 합성, 식의 치환, 구간별 함수까지 표현이 다양합니다. 특히 역함수를 단순히 문자를 바꾸는 계산으로만 익히면 8번의 존재 조건이나 21번의 구간 판단에 대응하기 어렵습니다. 입력과 출력을 되짚는 관점으로 정리하세요.

유리함수는 점근선과 평행이동에서 절댓값 대칭, 구간별 치역과 해의 개수로 확장됩니다. 무리함수도 근호 계산에 그치지 않고 그래프의 끝점과 역함수의 교점을 다룹니다. 그래프를 그릴 때 정의되지 않는 점, 포함되는 끝점, 가까워지지만 닿지 않는 값을 구분해 표시하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 경우의 범위를 줄여야 한다는 것입니다. 분류 기준을 적고 각 경우가 서로 겹치지 않으며 전체를 포함하는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 개념을 확인한 뒤 중반 문항을 차례로 살펴보세요. 9번에서 반복 계산을 오래 이어 가거나 10번에서 대칭 조건을 바로 찾지 못하면 표시하고 넘어갈 수 있습니다. 정해진 시험 시간이 자료에 없으므로 분 단위 목표를 임의로 잡기보다 연습 때 개념 판단과 계산에 걸린 시간을 따로 기록하세요.

14~20번을 모두 해결한 뒤 마지막 문항을 보겠다는 순서는 피하는 편이 좋습니다. 21번은 자동 분류 기준 보통이며 역함수의 성질로 반복 계산을 바꿀 수 있습니다. 서술·단답형의 20번은 경우를 나눈 기준을, 21번은 역함수로 해석할 수 있는 근거를 먼저 메모해 풀이의 방향을 확보하세요.

마지막 검토에서는 계산보다 조건을 다시 읽으세요. 7번은 첫자리와 끝자리의 제약, 11번은 함수와 일대일함수의 차이, 16번은 제곱 전 부호, 17번은 치역의 끝점이 중요합니다. 20번에서는 물건의 구별 여부를, 21번에서는 중간 출력이 다음 대입의 어느 구간에 속하는지를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 기호와 그래프 이동을 복습하세요. 순열의 뜻, 합의 법칙의 전제, 근호 계산과 점근선의 위치를 말로 설명해 보세요(1·2·3·4번 대비).
2. 함수와 일대일대응의 정의를 구분하세요. 대응 그림과 그래프를 함께 보고 역함수가 존재하는 이유를 적어 보세요(5·6·8·14번 대비).
3. 합성함수는 입력을 추적하는 표로 연습하세요. 반복의 시작점과 주기를 기록하고 치환된 입력을 원래 변수와 구별하세요(9·13·21번 대비).
4. 유리함수와 무리함수는 끝점·점근선·치역을 표시한 스케치를 먼저 그리세요. 절댓값 변형과 역함수 교점으로 확장하세요(10·12·16·17·18번 대비).
5. 경우의 수는 제약이 큰 자리나 대상을 먼저 정하세요. 출력의 중복 허용 여부와 같은 역할을 하는 대상의 교환을 점검하세요(7·11번 대비).
6. 제한된 배분과 좌석 배치를 연습하세요. 분류 기준, 각 경우의 계산, 누락과 중복 검사의 순서로 풀이를 정리하세요(15·19·20번 대비).