동덕여자고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

동덕여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

동덕여자고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 그래프와 역함수를 읽는 능력에 더해, 선택과 배열의 조건을 경우의 수로 바꾸는 능력을 확인합니다.

초반에는 대응 관계에서 함숫값을 읽거나 점근선과 그래프의 시작점으로 함수의 성질을 파악하는 문제가 나옵니다. 순열조합도 기호 계산에서 출발하지만, 이후 좌석 배치·상대적 순서·표의 행과 열 조건으로 확장됩니다. 공식을 기억하는 데서 그치지 않고 무엇을 먼저 정할지 판단해야 합니다.

후반 함수 문항에서는 식 하나를 정리하는 것보다 나뉜 구간을 연결하는 일이 중요합니다. 각 조각이 만들어 내는 함숫값의 범위를 확인하고, 같은 높이에서 원상이 겹치는지 또는 비는 값이 있는지 살펴야 합니다. 서술·단답형에도 기본형이 있으므로 객관식 후반에서 시간이 걸리면 뒤쪽을 먼저 살펴보세요.

난이도 분포 — 기본형 확보와 후반 조건 해석

쉬움 문항은 초반에 많이 배치되어 있으며 서술·단답형의 17·18번에도 있습니다. 함수의 기본 성질과 순열·조합의 기호, 여사건을 이용한 계산을 정확히 처리하면 후반을 검토할 시간을 확보할 수 있습니다. 쉬움으로 분류된 17번도 역함수의 정의역을 함께 써야 풀이가 완성됩니다.

보통 구간에서는 개념을 다른 표현으로 바꾸는 과정이 추가됩니다. 10번은 구간 전체에서 성립하는 부등식을 매개변수 조건으로, 11번은 역함수와의 교점을 근의 조건으로 바꾸어야 합니다. 19·21번은 모든 대상을 나열하기보다 첫 자리나 기준 함숫값에 따라 묶어 세는 편이 효율적입니다.

자동 분류 기준 어려움인 15·16·20·22번은 각각 조건부 색칠, 원상의 개수, 역함수 존재, 절댓값 그래프의 교점을 다룹니다. 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 다만 계산 전에 경우를 나누는 기준과 경계의 포함 여부를 정해야 한다는 공통점은 분명합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 구간 해석

가장 많이 나온 순열조합은 선택 순서의 유무부터 조건에 따른 분류까지 폭이 넓습니다. 6·18번은 제외할 경우가 단순한 여사건 유형이고, 9·14·15번은 배치나 위치의 제약을 먼저 읽어야 합니다. 21번처럼 함수의 개수를 세는 문제도 함숫값의 순서 조건을 이용하는 조합 문제로 해석할 수 있습니다.

유리함수는 점근선과 평행이동을 확인하는 2·3번에서 출발해 부등식, 넓이의 최대·최소, 구간별 치역으로 이어집니다. 16·20번을 준비할 때는 그래프를 그린 뒤 각 조각의 치역을 별도로 적어 보세요. 점근선 때문에 도달하지 못하는 값과 실제 끝점에서 얻는 값을 구분해야 합니다.

무리함수는 시작점과 진행 방향을 읽는 4번, 역함수 관련 조건을 다루는 11·17번, 절댓값이 결합된 22번으로 이어집니다. 합성함수와역함수 단원의 1·8번은 기본형이지만 역함수 개념은 다른 함수 문항에서도 활용됩니다. 단원별 복습 뒤 역함수와 정의역·치역을 연결해 다시 정리하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 부분별 선택이나 함수값이 서로 영향을 줍니다. 전체를 바로 계산하기보다 각 부분의 허용 범위를 적고, 겹치거나 빠지는 경우를 점검하는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 그래프의 기본 성질과 순열·조합의 기본 계산을 먼저 확보하세요. 15·16번에서 분류가 길어지면 표시하고 서술·단답형의 17·18번을 확인하는 운영이 좋습니다. 마지막 문항이라는 이유만으로 모든 서술·단답형을 미뤄 두지 말고, 풀이 시작이 분명한 문제부터 처리하세요.

계산 전에 짧은 조건 메모를 남기세요. 10번은 분모의 부호, 11·17번은 제곱 전의 부호와 정의역, 19번은 첫 자리의 제한을 적는 식입니다. 15번은 행과 열의 제한을 서로 구분해 표시하고, 21번은 기준 함숫값을 바꿀 때 남은 선택지가 어떻게 달라지는지 표로 정리하면 재계산을 줄일 수 있습니다.

검토 시간에는 식을 처음부터 다시 전개하기보다 경계를 확인하세요. 16번의 열린 경계와 닫힌 경계, 20번의 점근선 위치, 22번의 시작점과 꺾이는 지점이 우선입니다. 경우의 수에서는 같은 선택을 다른 순서로 두 번 센 것은 없는지, 제외한 경우가 전체 조건을 정확히 반영하는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수와 역함수의 입력·출력 관계를 복습하세요. 대응을 거꾸로 읽는 연습과 변형된 입력을 치환하는 연습을 연결하세요(1·8번 대비).
2. 유리함수의 점근선과 무리함수의 시작점을 먼저 그리세요. 식을 구한 뒤 정의역과 진행 방향이 그래프와 맞는지 확인하세요(2·3·4번 대비).
3. 합의 법칙·곱의 법칙과 순열·조합의 구분을 정리하세요. 여사건을 쓰기 전 제외할 상황을 말로 설명하는 연습을 하세요(5·6·7·18번 대비).
4. 조건부 배치는 기준 대상을 먼저 정하는 방식으로 연습하세요. 좌석, 상대적 순서, 행과 열, 색칠의 제한을 중복 없는 경우로 나누세요(9·12·14·15번 대비).
5. 함수의 부등식과 최대·최소를 구간 해석으로 연결하세요. 제곱과 부등식 변형 전의 부호 조건을 기록하세요(10·11·13·17번 대비).
6. 구간별 함수는 각 조각의 치역을 수직선에 표시하세요. 교집합, 치역의 빈틈, 대칭과 절댓값에 따른 교점 변화를 확인하세요(16·20·22번 대비).
7. 사전식 배열과 함수 개수는 기준값별 묶음을 만들어 세세요. 선택 순서가 이미 조건으로 결정되는지 확인한 뒤 계산하세요(19·21번 대비).