한가람고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

한가람고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 시험의 등록 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 대응 관계부터 그래프의 위치 관계, 제한 조건이 있는 배열과 분배까지 준비해야 합니다.

초반에는 같은 함수의 조건, 역함수의 정의역, 유리함수의 대칭점처럼 기본 성질을 확인합니다. 이후에는 일대일대응의 방향을 나누거나 구간별 함수에서 역함숫값을 찾는 등 조건 해석이 추가됩니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식을 적용할 범위를 판단하는 것을 함께 요구합니다.

후반부의 부담은 긴 계산에만 있지 않습니다. 절댓값 그래프를 해석하고, 대진표의 중복을 구별하며, 합성 조건에서 치역의 구조를 찾아야 합니다. 서술·단답형에도 보통 문항이 섞여 있으므로 객관식 고난도 문항에 붙잡혀 뒤쪽을 읽지 못하는 상황을 피하세요.

난이도 분포 — 객관식 후반과 서술형 끝부분의 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·3·5번은 정의와 기본 성질을 정확히 적용하는 구간입니다. 4번이 사이에 끼어 있으므로 앞번호라는 이유만으로 모두 같은 속도로 풀려 하지는 마세요. 같은 함수와 역함수의 의미, 점근선과 대칭점, 약수의 홀짝 조건을 짧게 정리하는 연습이 바탕입니다.

보통 문항은 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있습니다. 15·16·17·18·20번에서는 자리 사이의 틈, 절댓값 그래프의 치역, 접점과 시작점, 분할과 분배를 구별해야 합니다. 분류상 보통이어도 조건을 빠뜨리면 풀이가 처음부터 어긋날 수 있습니다.

어려움 문항 중 12~14번은 서로 다른 단원이 연이어 나오는 구간입니다. 이어지는 서술·단답형 전체가 같은 난도는 아니며, 19번과 21·22번에서 다시 구조 파악의 부담이 커집니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이므로 개인의 체감과는 차이가 있을 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 그래프의 연결

순열조합은 약수 세기와 사전식 배열에서 도형, 대진표, 학생 분배와 좌석 배치로 이어집니다. 단원 이름은 같아도 곱의 법칙으로 직접 세는지, 전체에서 부적합한 경우를 빼는지, 구별되지 않는 묶음의 중복을 나누는지에 따라 접근이 달라집니다. 풀이 전에 세는 대상부터 문장으로 적어 보세요.

함수와 합성함수와역함수는 대응 관계와 치역을 공통으로 다룹니다. 10번은 먼저 정해지는 대응과 자유로운 대응을 구별하고, 22번은 합성 조건을 만족하는 치역의 성질을 찾아 개수를 셉니다. 19번에서는 합성의 중간값이 실제 함숫값으로 가능한지 확인하는 단계가 필요합니다.

무리함수와 유리함수에서는 그래프를 도형처럼 읽는 연습이 중요합니다. 무리함수는 시작점과 제곱 전의 부호 조건, 유리함수는 점근선과 대칭 중심이 기준입니다. 13·14번처럼 대칭을 이용한 길이와 넓이, 거리의 해석까지 연결해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 줄고 어려움 문항은 증가

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 24문항에서 22문항으로 줄었지만 서술·단답형은 8문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 7문항으로 늘었으므로, 문항 수 감소만 보고 풀이 부담도 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

가장 많은 단원은 모두 순열조합이며 10문항에서 8문항으로 줄었습니다. 무리함수는 6문항에서 4문항, 유리함수는 4문항에서 3문항으로 줄고, 함수는 1문항에서 4문항, 합성함수와역함수는 2문항에서 3문항으로 늘었습니다. 올해 대비에서는 단순한 그래프 계산뿐 아니라 대응 관계를 이용해 함수의 개수를 세는 연습도 필요합니다.

작년 어려움 문항은 10·16·21·23·24번, 올해는 9·12·13·14·19·21·22번입니다. 객관식 마지막 한 문항에만 대비하기보다 후반의 연속된 고난도 구간을 건너뛰고 돌아오는 연습을 하세요. 서술·단답형 마지막 구간을 읽고 구조를 정리할 시간을 남기는 운영도 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 풀이 구조를 살펴 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 공통점은 계산 전에 대상의 범위를 좁혀야 한다는 것입니다. 그래프의 가지, 자리의 줄, 치역의 안과 밖처럼 나누는 기준을 명확히 적는 습관을 들이세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

초반의 기본 문항을 풀며 속도를 확보하되 9번에서 그래프가 정리되지 않으면 표시하고 넘어가세요. 객관식 12~14번을 연속해서 오래 붙잡으면 서술·단답형에 접근할 시간이 줄어듭니다. 연습할 때는 풀이를 시작할 수 있는 문항과 구조를 더 생각해야 할 문항을 구별하는 기준을 세우세요.

서술·단답형은 15번부터 별도로 시간을 확보하세요. 15·18·20번은 세는 단계를 짧은 문장으로 적고, 16·17번은 그래프의 경계와 등호 조건을 표시하면 검토가 쉬워집니다. 19·21·22번에는 치환의 범위나 경우 분류의 이유를 정리하는 시간이 필요합니다.

마지막 검토에서는 역함수의 정의역, 제곱하기 전 부호, 점근선 높이의 포함 여부를 우선 확인하세요. 경우의 수에서는 학생과 팀을 구별하는지, 묶음의 순서를 구별하는지, 서로 다른 경우가 겹치지 않는지를 보세요. 계산식을 반복해서 읽기보다 최초의 조건과 최종 분류가 일치하는지 점검하는 편이 효과적입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 역함수의 범위부터 정리하세요. 정의역·공역·치역을 구별하고 구간별 함수의 출력에서 입력을 찾는 연습을 합니다(1·2·4·6번 대비).
2. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프에 시작점·점근선·축과의 관계를 표시하세요. 절댓값 변형 뒤 각 가지의 치역도 적어 보세요(3·8·16번 대비).
3. 그래프와 직선의 교점을 접점과 경계 통과로 나누세요. 제곱 뒤에는 원래 구간으로 돌아와 확인하고 대칭을 넓이와 거리 문제에 연결합니다(9·13·14·17번 대비).
4. 경우의 수의 기본 세기를 곱의 법칙, 앞서는 배열 누적, 여사건으로 나누어 연습하세요. 도형에서는 제외할 일직선 배열의 방향을 모두 점검합니다(5·7·11·12번 대비).
5. 자리 배치·대진표·분배에서 대상과 묶음의 구별 여부를 먼저 쓰세요. 중복을 제거하는 이유와 줄별로 경우를 나누는 이유를 설명합니다(15·18·20·21번 대비).
6. 함수의 개수와 합성 조건은 치역을 기준으로 다시 풀어 보세요. 고정되는 대응과 자유로운 대응을 구별하고 치환값의 가능 범위를 확인합니다(10·19·22번 대비).