한가람고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

한가람고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

한가람고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 출제 단원은 집합, 명제, 합성함수와역함수, 절대부등식, 함수, 이차방정식입니다. 집합의 표현과 연산을 바탕으로 조건의 논리적 해석과 함수의 구조까지 살피는 구성입니다.

초반에서는 치역, 산술평균과 기하평균, 집합의 원소 개수, 합성함수 대입처럼 기본 개념을 정확히 적용하는지가 중요합니다. 이후에는 집합을 이루는 원소가 다른 원소를 결정하거나, 연산 조건이 부분집합의 범위를 제한하는 문제가 등장합니다. 계산 전에 조건을 정리하는 습관이 풀이의 길이를 줄여 줍니다.

서술·단답형도 요구하는 답안의 성격이 서로 다릅니다. 대우나 개수처럼 결과를 적는 문제와 포함 관계나 부등식의 근거를 설명하는 문제가 함께 있습니다. 문항마다 답만 쓰는지 과정을 서술하는지 먼저 확인하고, 설명이 필요한 곳에서는 사용한 조건과 결론 사이의 연결을 남기세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반의 조건 연결

쉬움 문항은 초반에 많이 배치되어 있지만 14번도 포함됩니다. 6번의 원소와 부분집합 구별, 8번의 자연수 지수 조건처럼 정의를 정확히 읽어야 하는 문제가 있으므로 쉬움이라는 분류를 계산 생략의 근거로 삼지는 마세요. 개념을 빠르게 확인하되 기호의 의미는 끝까지 구분해야 합니다.

보통 문항에서는 조건을 다시 표현하는 단계가 두드러집니다. 9·16번은 집합 연산식을 필수 원소와 선택 원소로 바꾸고, 10번은 존재 조건과 전체에 대한 조건을 따로 해석해야 합니다. 19번은 합성함수를 전개하기 전에 고정점이 갖는 성질을 이용하면 풀이 방향을 잡기 좋습니다.

어려움 문항을 만나도 다음 번호까지 같은 부담이라고 예상할 필요는 없습니다. 12번 뒤에는 보통인 13번과 쉬움인 14번이 있고, 18번 뒤의 19번도 보통으로 분류됩니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 체감과 다를 수 있지만, 번호 순서보다 접근 가능성을 기준으로 푸는 연습에 활용할 수 있습니다.

출제 단원 — 집합의 비중과 서로 다른 후반 과제

집합은 원소 나열과 포함배제에서 조건을 만족하는 집합의 개수, 원소 사이의 대응 관계까지 넓게 출제됩니다. 3·15번의 개수 계산만 반복하기보다 9·16번의 포함 관계와 11·12번의 원소 추론을 묶어 연습하세요. 같은 집합 단원 안에서도 영역을 그릴 때와 원소의 변환을 추적할 때의 접근이 다릅니다.

명제는 필요조건과 충분조건, 모든·어떤의 해석, 대우, 반례로 이어집니다. 함수 쪽은 4번의 구간별 대입에서 18번의 절댓값 합성 그래프, 19번의 고정점과 해집합으로 확장됩니다. 단원명에 역함수가 포함되어 있어도 이번 문항의 구체적인 대비는 합성함수의 입력과 출력 관계에 초점을 맞추는 편이 적절합니다.

절대부등식에서는 2번의 기본 최솟값과 20번의 증명 활용 사이에 풀이 단계의 차이가 있습니다. 부등식을 알고 있는 데서 그치지 말고 적용 조건과 등호 성립 여부까지 확인해야 합니다. 13번의 절댓값 방정식도 그래프의 대칭성과 근과 계수의 관계를 연결하므로 함수 해석과 함께 복습하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며 조건 연결의 부담을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 결과를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아오는 과정이 중요합니다. 17번도 정의 조건과 반례의 적합성을 함께 살펴야 하므로, 특정 문항만 가장 어렵다고 단정하기보다 자신의 약한 접근법을 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념과 원소 나열로 접근할 수 있는 문항을 먼저 확보하세요. 11·12번에서 변환이나 경우 정리가 길어지면 표시하고 뒤의 문제를 살펴보세요. 서술·단답형에도 14번처럼 기본 개념을 직접 묻는 문제가 있으므로 객관식을 모두 마쳐야 다음 구간으로 넘어간다는 순서를 고집할 필요는 없습니다.

답안 작성 전에는 요구 형식을 확인하세요. 17번은 참·거짓 판단 외에 거짓인 명제의 반례가 필요하고, 19·20번은 설명이나 증명의 연결이 중요합니다. 연습할 때에는 조건을 해석하는 시간과 계산·서술 시간을 나누어 기록하면, 식을 세우는 데 막히는지 설명을 정리하는 데 시간이 드는지 확인할 수 있습니다.

검토할 때에는 계산을 반복하기보다 빠뜨리기 쉬운 조건을 확인하세요. 8번은 지수의 범위, 10번은 부등호의 경계, 11번은 순환 묶음의 중복, 18번은 실근의 부호가 핵심입니다. 19번은 포함 관계를 보인 것과 전체 해를 구한 것을 구별하고, 20번은 등호 조건의 동시 성립을 마지막에 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 표현과 원소 관계부터 정리하세요. 원소를 나열하고 공집합과 중괄호의 의미를 설명하는 연습으로 출발하세요(5·6·8번 대비).
2. 집합의 개수 계산을 벤 다이어그램과 포함배제로 확인하세요. 공통 영역을 먼저 표시하고 합집합에서 중복된 원소를 한 번만 세세요(3·15번 대비).
3. 집합 조건을 필수 원소와 선택 원소로 바꾸세요. 이어서 원소의 순환과 제곱 관계를 추적하는 문제로 확장하세요(9·11·12·16번 대비).
4. 명제의 방향과 부정을 문장으로 읽으세요. 필요조건·충분조건, 모든·어떤, 대우를 구별한 뒤 정의에 맞는 반례를 찾는 연습을 하세요(7·10·14·17번 대비).
5. 함수의 입력과 출력을 단계별로 표시하세요. 구간별 대입에서 출발해 절댓값 그래프의 교점과 고정점의 해집합을 다루세요(1·4·13·18·19번 대비).
6. 부등식은 적용 조건과 등호 조건을 함께 적으세요. 기본 최솟값 문제를 푼 뒤 증명한 부등식을 치환된 식에 적용하는 과정을 설명해 보세요(2·20번 대비).