잠신고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

잠신고 고1 2학기 기말 수학(하)은 어떤 시험인가

잠신고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 시험은 객관식 17문항과 서술·단답형 5문항으로 구성됐습니다. 등록 문항의 범위는 함수의 대응과 개수, 합성함수와 역함수, 유리식과 유리함수, 무리함수, 순열과 조합입니다. 함수의 성질을 해석하는 문제와 대상을 분류해 세는 문제가 함께 나옵니다.

초반에는 합의 법칙, 순열·조합 기호, 역함수의 함숫값처럼 기본기를 확인합니다. 이후에는 같은 개념에 자리 제한이나 그래프 변환, 합성 조건이 붙습니다. 기본 공식을 아는 데서 그치지 않고 어떤 대상을 먼저 고르고 어떤 순서로 조건을 적용할지 결정해야 합니다.

서술·단답형도 모두 같은 방식의 문제는 아닙니다. 도형에서 함수식을 만드는 18번, 역함수와 합성을 다루는 19번, 자연수의 개수를 세는 20번, 등식을 증명하는 21번, 치역과 점근선을 연결하는 22번이 있습니다. 풀이의 근거를 문장으로 설명하는 준비가 필요합니다.

난이도 분포 — 어려움이 절반, 객관식 후반에 집중

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움 문항이 초반에 있지만, 3번의 유리식 통분이나 6번의 함수 개수처럼 조건 해석이 필요한 보통 문항도 섞여 있습니다. 앞부분이라는 이유로 무조건 빠르게 계산하기보다, 함수의 방향과 제외 조건을 짧게 확인하는 편이 좋습니다.

7·9번은 경우의 수에서 분류 능력을 요구하는 지점입니다. 이어 12~17번에는 유리함수와 도형, 무리함수의 그래프, 숫자 배열, 역함수, 합성함수의 실근 개수가 이어집니다. 풀이 도구가 바뀌는 구간이므로 이전 문항의 방식에 매달리지 말고 새 조건을 그림이나 표로 다시 옮겨야 합니다.

서술·단답형에서는 18·21번이 보통, 19·20·22번이 어려움으로 분류됐습니다. 객관식 후반을 끝내야만 서술형에 착수할 수 있다고 생각하면 시간 운영이 불리해집니다. 닮음이나 경우 분류의 근거를 바로 적을 수 있는 문항부터 확보하는 전략을 권합니다.

출제 단원 — 순열조합 중심, 함수는 단원 사이 연결이 중요

순열조합은 기호 계산부터 조건부 배열과 분배, 조합·순열 등식의 증명까지 폭이 넓습니다. 특히 8번은 함수의 개수를 순열·조합으로 표현하므로 함수 단원과도 연결됩니다. 문제에 등장하는 단어만 보고 공식을 고르기보다, 대응을 중복해서 허용하는지와 순서가 정해지는지를 판단해야 합니다.

유리함수는 식의 계산, 거리의 최솟값, 직선과의 교점, 도형의 닮음, 합성함수의 치역으로 확장됩니다. 합성함수와역함수도 단순 대입에서 시작해 구간별 함수와 실근 개수로 이어집니다. 무리함수의 13·14번은 모두 자동 분류 기준 어려움이므로, 문항 수가 적다고 그래프 변환 연습을 생략하기는 어렵습니다.

문항별 정리

각 문항의 핵심 아이디어와 확인할 조건을 정리했습니다. 아래 난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 분석상 고난도 문항으로 선정했습니다. 공통점은 계산 전에 함수가 실제로 받을 수 있는 입력과 낼 수 있는 출력을 정해야 한다는 것입니다. 풀이가 막히면 전개를 늘리기보다 정의역·치역, 경계점, 중복 여부를 그림 옆에 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1·2·4·5번의 기본 계산을 정확히 처리하고, 3·6·8·10·11번에서 해석 가능한 문제를 확보하세요. 7·9번에서 분류 기준이 바로 잡히지 않으면 현재까지의 경우만 적어 두고 이동하는 편이 좋습니다. 미완성 계산을 반복하기보다 다시 볼 때 필요한 기준을 남기는 것이 중요합니다.

12~17번을 연속해서 풀다가 서술형 작성 시간을 소진하지 않도록 중간에 18·21번을 확인하세요. 18번은 닮음의 대응, 21번은 세는 대상과 분류 기준을 문장으로 적어야 합니다. 시간 연습에서도 결과만 기록하지 말고 근거를 쓰는 데 걸리는 시간까지 포함하세요.

마지막 검토에서는 7·15번의 맨 앞자리, 9번의 물건 구별 여부, 13번의 제곱 전 부호, 17번의 중복 실근, 20번의 크기 비교 경계, 22번의 치역 경계를 확인하세요. 특히 선택한 숫자와 배열한 수를 구분하고, 계산으로 얻은 후보를 처음 조건에 다시 대입하는 절차를 남겨 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합의 법칙과 순열·조합의 뜻을 말로 설명한 뒤 기본 계산을 확인하세요. 공식마다 세는 대상과 순서의 유무를 적습니다(1·2·8번 대비).
2. 숫자 선택과 배열을 분리하고 맨 앞자리 제한을 처리하세요. 금지된 숫자 쌍, 나머지별 분류, 기준 수와의 자리 비교를 차례로 연습합니다(7·15·20번 대비).
3. 분배와 증명에서는 서로 겹치지 않으면서 전체를 덮는 경우 분류를 연습하세요. 특정 학생이나 원소를 기준으로 잡은 이유까지 설명합니다(9·21번 대비).
4. 함수의 일대일성, 치역과 공역의 일치, 역함수의 대응을 연결하세요. 구간별 함수는 각 구간의 치역부터 적는 습관을 들입니다(4·5·6·10·16번 대비).
5. 유리함수의 점근선과 대칭 중심을 표시하고 거리·닮음·합성 조건으로 확장하세요. 도형에서 정한 정의역과 식 자체의 정의역을 비교합니다(3·11·12·18·22번 대비).
6. 무리함수의 정의역과 절댓값·대칭·평행이동을 그림으로 정리하세요. 높이별 교점 수와 경계의 중복을 확인한 뒤 반복 합성의 고정점 해석으로 이어갑니다(13·14·17·19번 대비).