개포고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

개포고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 함수입니다. 함수 그래프의 성질과 경우의 수가 중심이며, 함수 단원에서도 조건을 만족하는 대응의 개수를 세는 문제가 출제되었습니다.

그래프 문항은 점근선이나 시작점을 찾은 뒤 다른 조건을 연결하는 구성이 특징입니다. 유리함수의 사분면 판단에서 출발해 조각별 함수의 교점 수, 역함수와의 대칭, 절댓값을 취한 그래프까지 다룹니다. 식을 정리하는 능력과 함께 실제로 사용하는 그래프의 구간을 가려야 합니다.

경우의 수는 공식 계산부터 인접 제한, 차량별 분배까지 폭이 넓습니다. 자동 분류 기준 쉬움인 15번도 약수, 직책 배정, 삼각형 선택을 구별해야 합니다. 쉬운 문항을 먼저 확보하되, 문제마다 무엇을 서로 다른 경우로 세는지 짧게 적는 습관이 유용합니다.

난이도 분포 — 중반 이후 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 순열·조합 기호를 계산하는 1번과 기본 경우의 수를 묻는 15번입니다. 보통 문항이 초반에 모여 있지만 10번에도 있으므로, 8·9번에서 막혀도 뒤의 접근 가능한 문제를 확인할 필요가 있습니다. 보통 구간에서는 부호 판단과 여사건 선택이 풀이 효율을 좌우합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 객관식과 서술·단답형 모두에 있습니다. 특히 11~14번은 인접 제한, 역함수, 절댓값 그래프, 일대일대응처럼 서로 다른 분류 기준을 연속해서 요구합니다. 앞 문제의 풀이 방식을 그대로 이어가기보다 각 문항의 조건을 새로 정리해야 합니다.

이 비중은 자동 분류 결과입니다. 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 수치는 아닙니다. 다만 후반부에서 경우를 빠뜨리지 않고 정리하는 과정이 반복되므로, 계산만 빨리 하는 연습에 더해 경계와 예외를 검토하는 시간을 확보하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 연결

순열조합은 가장 많이 출제된 단원입니다. 4번의 묶기와 빈자리 배치, 5번의 여사건, 10번의 색칠 분류를 구별해서 익히세요. 11·17번에서는 기본 원리를 여러 단계로 적용하므로, 공식을 외우는 데서 끝내지 말고 각 곱셈이 어떤 선택을 뜻하는지 설명할 수 있어야 합니다.

무리함수에서는 기본 개형을 묻는 3번 이후 연결 문제가 이어집니다. 8번은 구간별 교점, 12번은 치역과 역함수, 13번은 절댓값과 도형, 16번은 대칭과 넓이, 18번은 원함수와 역함수의 대소 관계를 다룹니다. 정의역을 표시한 그래프를 그리는 연습이 여러 문제에 공통으로 쓰입니다.

유리함수의 2·6번은 점근선과 사분면이 중심이고, 9번은 다른 식으로 정의된 부분까지 합쳐 교점 수를 판단합니다. 함수의 14·19번은 대응 조건을 경우의 수로 옮기는 문제입니다. 함수 개념과 순열조합을 따로 공부한 뒤, 화살표 그림으로 연결하는 연습을 덧붙이세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 무리함수 비중 확대

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 11개에서 10개로 줄었지만 전체 문항 수도 줄어, 그 비중은 절반에서 절반을 넘는 수준으로 바뀌었습니다. 서술·단답형은 2문항에서 4문항으로 늘었으므로 총 문항 수만 보고 풀이 부담이 줄었다고 판단하기 어렵습니다.

순열조합은 두 해 모두 8문항으로 가장 많습니다. 무리함수는 3문항에서 6문항으로 늘고 유리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 작년에는 합성함수와역함수가 별도 단원으로 분류되어 있으므로, 단원명만으로 역함수 내용이 사라졌다고 해석해서는 안 됩니다. 올해도 무리함수 문제 안에서 역함수 개념을 확인할 수 있습니다.

작년에는 자동 분류 기준 어려움이 2번부터 나타났고 서술·단답형은 21·22번이었습니다. 올해는 8번부터 어려움이 등장하며 서술·단답형이 15·16·17·19번에 있습니다. 다음 시험을 준비할 때는 순열조합 기본기를 유지하면서 무리함수와 역함수의 구간 해석 및 풀이 근거를 쓰는 연습을 강화하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 함수의 범위나 대응 구조를 확정해야 한다는 것입니다. 풀이 첫머리에 사용할 구간 또는 치역을 적고, 마지막에 후보가 그 조건을 만족하는지 되돌아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1번과 초반 기본형을 처리한 뒤 8·9번에서 생각이 길어지면 표시해 두세요. 뒤의 10번과 서술·단답형 15번도 먼저 확인할 만합니다. 후반에 어려운 문제가 이어지므로, 번호순 완주에 시간을 모두 쓰기보다 접근 가능한 문제를 찾아 확보하는 연습이 필요합니다.

함수 문제는 식을 풀기 전에 정의역과 경계점에 표시하세요. 8·18번에서는 치환 변수의 범위가 원래 구간을 대신하고, 9번에서는 접근만 하는 높이와 실제 도달하는 높이가 다릅니다. 16번에서는 대칭 관계로 좌표를 정리한 뒤 길이와 높이를 계산하면 불필요한 연립 계산을 줄일 수 있습니다.

경우의 수 검토에서는 선택과 배정, 인원수와 사람을 구별하세요. 11번은 카드 집합을 고른 뒤 배정하는 과정이 있고, 17번은 차량별 인원수만 정했다고 배치가 끝나지 않습니다. 19번은 정한 치역의 원소가 모두 등장하는지 확인해야 합니다. 마지막 검토 시간에는 계산을 반복하기보다 누락된 조건을 찾아보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합의 의미부터 정리하세요. 직책처럼 순서를 구별하는 선택과 단순한 집합 선택을 문장으로 설명해 보세요(1·7·15번 대비).
2. 묶기, 빈자리 배치, 여사건, 색칠의 경우 분류를 연습하세요. 계산 전에 서로 겹치지 않는 분류 기준을 적으세요(4·5·10번 대비).
3. 유리함수의 점근선·절편과 무리함수의 시작점·방향을 함께 복습하세요. 계수 부호를 그래프 특징으로 옮기세요(2·3·6번 대비).
4. 구간별 함수와 움직이는 직선의 교점을 연습하세요. 열린 끝점과 닫힌 끝점을 표시하고 치환 뒤에도 범위를 유지하세요(8·9·18번 대비).
5. 역함수의 정의역·치역과 대칭을 익힌 뒤 절댓값 그래프와 도형으로 확장하세요. 대칭인 점과 실제 교점을 구별하세요(12·13·16번 대비).
6. 제한된 배치와 함수 개수 문제를 마무리하세요. 먼저 고정되는 선택을 찾고, 남은 배정과 치역의 실현 조건을 표로 점검하세요(11·14·17·19번 대비).