보인고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

보인고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

보인고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수, 순열조합입니다. 함수의 점근선과 대칭성에서 시작해 조건을 만족하는 선택과 배열의 개수까지 다룹니다.

함수에서는 식의 변형과 그래프 해석을 연결해야 합니다. 평행이동 뒤 절댓값을 씌운 그래프의 대칭성, 역함수와의 교점, 합성함수의 치역처럼 연산 후에도 정의역과 값의 범위를 추적하는 문제가 눈에 띕니다.

경우의 수에서는 조합 공식을 아는 것만으로 충분하지 않습니다. 이웃하지 않는 배치, 순서가 정해진 금지 조건, 연결 구조와 치역 조건을 각각 다른 방식으로 표현해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 먼저 고정하고 무엇을 나중에 고를지 정하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형 이후 이어지는 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번입니다. 점근선, 역함수, 평행이동, 여사건의 기본 구조를 빠르게 확인할 구간입니다. 이어지는 5~7번에서는 근의 조건과 비인접 배치, 홀짝에 따른 선택처럼 개념을 상황에 맞게 적용해야 합니다.

8·10번에서 자동 분류 기준 어려움이 나타나지만 9·11번은 보통입니다. 번호만 보고 난도가 계속 높아진다고 생각하지 마세요. 12~15번은 그래프의 해 개수나 복합 조건의 경우 세기로 이어져, 계산 전 분류 기준을 세우는 데 시간이 필요합니다.

서술·단답형의 16·20번은 자동 분류 기준 보통이고 17·18·19·21번은 어려움입니다. 후반에서도 접근할 수 있는 문항을 먼저 찾는 운영이 유효합니다. 자동 분류는 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없으며, 자신의 풀이에서 조건 정리가 늦어지는 유형을 따로 확인하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 범위 해석

순열조합은 전체에서 가장 큰 비중을 차지합니다. 4·11·20번은 전체에서 제외할 경우를 보거나 선택 대상을 분류하는 기본기를 확인하고, 13·14·15·19번은 연결 관계, 평행한 방향, 함수의 치역, 선택 집합의 겹침으로 분류 대상을 확장합니다. 같은 조합식이라도 무엇을 고르는 식인지 설명할 수 있어야 합니다.

유리함수는 1·3번의 점근선과 이동에서 8번의 절댓값 대칭, 18번의 합성함수 치역, 21번의 구간별 교점 개수로 이어집니다. 그래프의 모양뿐 아니라 가질 수 없는 입력과 출력, 끝점 포함 여부를 함께 적는 습관이 중요합니다.

무리함수는 5·10·12·16번입니다. 역함수 대칭이나 직선과의 위치 관계를 이용하되 제곱으로 바꾸기 전 근호의 범위와 부호를 보존해야 합니다. 합성함수와역함수로 분류된 문항은 2번이지만 역함수 관점은 무리함수와 유리함수 문항에도 연결됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답과 순열조합의 비중 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 11문항에서 10문항으로 줄었지만 서술·단답은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 어려움 문항 수만으로 시험 전체가 편해졌다고 보기는 어렵고, 조건을 적으며 끝까지 계산하는 연습의 비중을 높일 필요가 있습니다.

순열조합은 8문항에서 11문항으로, 유리함수는 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 무리함수는 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 올해 자료에서는 경우의 수와 유리함수에 더 많은 문항이 배치되어 있으므로, 선택과 배치의 분류를 우선 복습하고 함수의 범위 해석을 이어서 점검하세요.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 5번부터 나타났고 올해는 8번부터 나타납니다. 올해는 객관식 12~15번에 연속되며 서술·단답형 17·18·19·21번에도 이어집니다. 초반을 빠르게 마치는 훈련과 함께 뒤쪽에서 풀 수 있는 문항을 골라 확보하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리의 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 중간 단계에서 가능한 대상을 정확히 정한 뒤 추가 조건을 적용해야 합니다. 풀이 중 얻은 집합이나 구간을 생략하지 않고 기록하면 마지막 검토에도 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 기본형을 정확히 처리한 뒤 접근이 보이는 문항을 이어 가세요. 8·10번에서 오래 막히면 9·11번을 확인하고, 객관식 후반을 모두 마칠 때까지 서술·단답형을 미루지 마세요. 16·20번은 자동 분류 기준 보통이므로 전체를 훑으며 먼저 풀 수 있는지 점검할 만합니다.

경우의 수는 계산보다 분류 기준을 적는 시간을 확보하세요. 9번은 방향이 있는 금지 조건, 13번은 전체 연결 여부, 15번은 치역에서의 출력 반복, 19번은 선택 집합의 겹침을 따로 확인해야 합니다. 중간 경우를 표나 간단한 가지로 남기면 다시 읽을 때 누락을 찾기 쉽습니다.

함수 검토에서는 정의역과 경계의 포함 여부를 우선 보세요. 5번은 치환 변수의 부호, 16번은 사분면에서 제외되는 축 위의 점, 18번은 최솟값의 달성, 21번은 구간 끝점이 핵심입니다. 시간 제한 연습에서도 계산을 마친 시점과 조건 검토를 마친 시점을 구별해 기록하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 점근선과 역함수의 기본형부터 복습하세요. 유리함수를 이동된 형태로 읽고 입력 치환과 역관계를 구별해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 여사건과 선택 개수별 분류를 연습하세요. 전체에서 제외할 경우와 직접 더할 경우 중 분류가 짧은 쪽을 선택해 보세요(4·7·11·20번 대비).
3. 비인접 배치와 방향이 정해진 금지 조건을 비교하세요. 빈틈 선택, 묶음, 포함배제를 상황에 맞게 적용하세요(6·9번 대비).
4. 무리함수는 정의역을 적은 뒤 대칭과 교점 개수를 판단하세요. 근호 치환의 부호 조건과 사분면 경계를 함께 확인하세요(5·10·12·16번 대비).
5. 복합적인 경우의 수는 기준 대상을 고정한 뒤 나누세요. 연결, 평행한 방향, 치역, 이웃 관계, 선택 집합의 겹침을 각각 분류 기준으로 삼아 보세요(13·14·15·17·19번 대비).
6. 절댓값과 합성함수는 구간별 값의 범위로 정리하세요. 빠지는 출력과 끝점 포함 여부를 표시한 뒤 교점 개수와 치역을 확인하세요(8·18·21번 대비).