방산고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

방산고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

방산고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의부터 그래프의 조건 해석, 제한이 있는 경우의 수까지 폭넓게 확인하는 구성입니다.

초반에는 대응이 함수인지 판단하거나 점근선과 그래프의 시작점을 읽는 기본형이 나옵니다. 중반에는 역함수의 존재 조건, 합성 순서, 교점 개수와 순열 기호의 변형을 다룹니다. 같은 단원 안에서도 개념을 아는 것과 여러 조건을 동시에 적용하는 것을 구별해 준비해야 합니다.

후반의 부담은 긴 전개보다 조건 사이의 연결에 있습니다. 합성함수가 정의되는 조건을 치역으로 바꾸거나, 일대일 조건을 구간별 출력의 중복 여부로 판단해야 합니다. 서술·단답형도 정의 확인부터 도형과 최솟값의 결합까지 성격이 달라, 형식만 보고 풀이 순서를 정하지 않는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 후반 객관식과 마지막 서술·단답형에 집중

쉬움 문항은 1~6번에 이어 8·10·13·21번에도 있습니다. 함수의 기본 정의, 순열과 조합의 계산, 대응도와 그래프 읽기를 안정적으로 처리할 구간입니다. 7번에서 풀이가 길어지더라도 바로 뒤의 기본형을 놓치지 않도록 전체를 살펴보세요.

보통 구간에서는 단순 대입을 넘어 조건을 바꾸어 읽는 과정이 필요합니다. 9번은 역함수의 존재를 일대일대응으로, 11번은 그래프의 교점을 치환한 방정식의 근으로 해석합니다. 12·14·15번은 각각 자릿수 분류, 계승 변형, 홀짝 구조를 선택하는 능력이 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움은 17~20번과 23·24번입니다. 객관식 후반에서 막힌 상태로 서술·단답형 진입이 늦어질 수 있는 배치입니다. 분류가 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 기본형을 먼저 확보하고 복합 조건을 다시 검토하는 운영이 적절합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건 해석

순열조합은 약수 개수와 기호 계산에서 시작해 자연수 만들기, 경로, 홀짝 조건, 이웃하는 배열까지 이어집니다. 공식 암기만으로 묶기 어려운 범위입니다. 무엇을 먼저 정할지, 경우들이 서로 겹치는지, 나누어 센 경우를 더해도 되는지를 문항마다 설명하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 대응도, 식, 조건, 실생활 표를 오가며 출제됩니다. 합성의 안쪽 함수부터 입력을 따라가는 기본과, 역함숫값을 원래 함수의 대응으로 되돌리는 해석이 공통 기반입니다. 함수 단원의 23번도 일대일대응과 경우의 수를 연결하므로 단원 이름만으로 학습을 분리하지 마세요.

유리함수는 2번의 점근선 확인 이후 17·18·24번에서 정의역·일대일성·최솟값으로 확장됩니다. 무리함수 역시 10번의 그래프 읽기에서 11번의 교점, 19번의 역함수 조건으로 이어집니다. 기본 그래프의 특징을 복습한 뒤 조건을 부등식과 근의 범위로 옮기는 순서가 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움의 수는 같고 배치는 후반으로

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항으로 같지만, 쉬움이 5문항에서 10문항으로 늘고 보통은 12문항에서 8문항으로 줄었습니다. 전체 문항 수도 달라졌으므로 어려움 개수만으로 시험 전체의 부담이 같다고 볼 수는 없습니다.

순열조합은 작년 8문항, 올해 7문항으로 모두 가장 많습니다. 합성함수와역함수는 5문항에서 6문항, 함수와 유리함수는 각각 3문항에서 4문항으로 늘었고, 무리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 경우의 수를 중심에 두되 함수의 대응과 그래프 해석을 함께 준비할 필요가 있습니다.

작년 어려움 문항은 객관식 11·16·18·20번과 서술·단답형 22·23번이었습니다. 올해는 객관식 17~20번과 서술·단답형 23·24번에 모였습니다. 다음 시험을 준비할 때에는 후반 연속 문항을 풀 체력과 함께, 앞에서 막혀도 접근 가능한 문항을 찾아 이동하는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 연결하는 단계가 많아 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 이용자 투표에 따른 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산 전에 그래프의 범위나 배열의 형태를 정리해야 하며, 마지막에는 처음의 조건으로 돌아가 후보와 등호 성립을 확인해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대응도, 기본 그래프, 순열 기호처럼 출발점이 분명한 문항을 확보하세요. 17~20번에 진입하기 전에 서술·단답형의 구성을 확인하면 21·22번을 뒤늦게 발견하는 일을 줄일 수 있습니다. 연습에서는 조건 해석이 막힌 문항과 계산만 남은 문항을 구분해 표시해 보세요.

함수 문항의 검토 기준은 입력과 출력입니다. 7·16번은 식을 사용할 수 있는 입력 범위, 17번은 합성 과정에서 분모가 사라지는 값, 18번은 각 구간 내부와 구간 사이의 출력 중복을 확인하세요. 11·19번에서 제곱이나 치환을 했다면 변환된 방정식의 실근이 원래 조건을 만족하는지도 점검해야 합니다.

경우의 수는 빠르게 세는 것보다 분류의 완전성을 확인하는 것이 중요합니다. 12번은 상한과 하한의 포함 여부, 13번은 이미 지난 지점의 재방문 금지, 20번은 겹치는 조건을 표시하세요. 23번은 일부 함숫값을 정한 뒤 남은 값의 배정과 대소 조건을 빠뜨리지 말고, 24번은 넓이식의 근거와 등호 조건을 서술하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 대응도와 그래프로 함수·치역·일대일의 뜻을 구분하세요. 정의를 문장으로 설명하고 각 판단의 근거를 찾아보세요(1·5·21번 대비).
2. 합성은 입력의 이동 순서를, 역함수는 대응을 거꾸로 추적하는 과정을 적으세요. 표의 경계 해석까지 연결하세요(6·7·8·9·16·22번 대비).
3. 점근선과 무리함수의 시작점을 표시한 뒤 교점 문제를 연습하세요. 치환 변수의 범위와 제곱 전 부호 조건을 함께 적으세요(2·10·11·19번 대비).
4. 합성의 정의역과 구간별 일대일성을 연습하세요. 안쪽 함수의 치역이 바깥 함수의 금지된 입력을 포함하는지 확인하세요(17·18번 대비).
5. 경우의 수 기본 계산에서 조건 분류로 확장하세요. 자릿수·경로·홀짝을 기준으로 서로 겹치지 않게 나누는 이유를 설명하세요(3·4·12·13·14·15번 대비).
6. 이웃하는 배열과 일대일대응의 개수를 풀며 중복을 검토하세요. 일부 배정이 끝난 뒤 남은 배정 조건을 별도로 기록하세요(20·23번 대비).
7. 좌표 도형의 넓이를 거리와 함수식으로 바꿔 보세요. 최솟값 부등식의 적용 조건과 등호 성립을 마지막에 확인하세요(24번 대비).