상문고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

상문고 고1 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 회차는 유리함수와 무리함수의 그래프, 함수의 개수, 순열조합, 집합을 다룹니다. 함수에서는 점근선이나 정의역을 읽는 기본 문제부터 일대일 조건과 교점 개수를 해석하는 응용까지 연결됩니다.

경우의 수에서는 여사건, 순열과 조합의 구별, 색칠, 분할과 분배가 함께 나옵니다. 공식 이름을 아는 것만으로는 부족하고, 어떤 대상을 먼저 고정할지 정해야 합니다. 함수의 개수를 묻는 문항도 실제 풀이에서는 나열과 선택을 활용하므로 단원을 따로 외우기보다 연결해서 연습할 필요가 있습니다.

객관식 후반에 분석상 고난도 문항이 모여 있지만 서술·단답형의 시작인 20·21번은 자동 분류 기준 보통입니다. 순서대로 끝까지 버티기보다 풀 수 있는 문항을 먼저 확보하는 운영이 유리합니다. 서술형에서는 계산 결과와 함께 조건을 해석한 근거를 짧고 분명하게 쓰는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 기본 확인 뒤 조건 분류가 이어지는 구성

쉬움에 해당하는 1~3번은 유리함수의 점근선, 무리함수의 치역, 주사위 경우의 수를 확인합니다. 여기서는 복잡한 계산보다 기본 정의를 정확히 적용하는지가 중요합니다. 이어지는 보통 문항에서도 여사건이나 정의역 확인을 놓치면 불필요하게 풀이가 길어질 수 있습니다.

10번에서는 일대일대응의 조건을 배열 조건으로 바꾸어야 하고, 13·14번에서는 그래프 구간이나 소인수 조건을 나누어야 합니다. 어려움 문항이 마지막에만 있는 것은 아니므로 중간에 풀이가 막혀도 전체 난도를 한꺼번에 판단하지 않는 편이 좋습니다.

16~19번은 구간별 함수의 성질과 복합적인 경우의 수가 이어집니다. 서술·단답형에서는 20·21번으로 기본 논리를 정리한 뒤, 22~24번에서 원소의 소속과 그래프의 이동·대칭 조건을 다룹니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 직접 나타내지는 않습니다.

출제 단원 — 순열조합과 유리함수 중심

가장 많은 순열조합은 기본적인 선택부터 조건이 붙은 배정까지 폭이 넓습니다. 4·9번의 여사건 접근을 익힌 뒤 14번의 수 조건, 17번의 방 배정, 19번의 색 배치로 넘어가면 같은 계산 도구를 어떻게 다른 상황에 쓰는지 확인할 수 있습니다.

유리함수는 점근선을 읽는 데서 시작해 최대·최소, 그래프의 부호, 구간별 치역, 교점과 대칭성으로 확장됩니다. 특히 21번과 23·24번을 연결하면 그래프의 위치를 계수 조건으로 바꾸는 과정이 왜 중요한지 보입니다. 무리함수도 치역과 역함수의 정의역을 함께 확인해야 합니다.

집합은 22번 한 문항이지만 원소를 영역에 배정하는 경우의 수와 연결됩니다. 함수 단원인 10·18번 역시 일대일대응을 순열로 해석합니다. 단원별 출제 수와 별개로, 경우를 빠짐없이 세는 능력이 여러 영역에서 반복해서 쓰이는 시험입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 구성은 같고 어려움 구간은 확대

작년과 올해 모두 수학(하)이며, 총 문항 수와 서술·단답형의 구성은 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 5문항에서 올해 10문항으로 늘었고, 쉬움은 12문항에서 3문항으로 줄었습니다. 문항 수가 같아도 기본 문제를 빠르게 해결한 뒤 남길 수 있는 여유는 달라질 수 있습니다.

공통 단원인 순열조합은 작년 10문항에서 올해 9문항으로 소폭 줄었지만 여전히 가장 많습니다. 유리함수는 4문항에서 8문항으로 늘었고, 무리함수는 4문항, 함수는 2문항으로 같습니다. 올해는 유리함수의 그래프 조건을 다루는 연습에 더 무게를 둘 근거가 있습니다.

작년 어려움은 객관식 16·18·19번과 서술·단답형 23·24번에 있었습니다. 올해는 10번부터 나타나고 22번도 어려움에 포함됩니다. 다음 대비에서는 뒤쪽 문제만 선별하기보다 중간에 등장하는 조건 해석 문제까지 시간 안에 전환해서 푸는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항의 공통점은 계산을 시작하기 전에 유효한 구간과 경우를 정해야 한다는 것입니다. 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 해석의 부담을 고려해 선정한 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표에 따른 난이도 순위를 뜻하지는 않습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 기본 개념과 풀이 방향이 바로 보이는 문항을 확보하세요. 10번처럼 중간에 어려움 문항이 나타나면 가능한 묶음이나 경우를 적어 본 뒤, 진전이 없을 때 표시하고 다음으로 이동하는 편이 좋습니다. 15번은 보통으로 분류되지만 도형 해석과 최소 조건 확인이 필요하므로 계산을 서두르지 마세요.

객관식 후반에 오래 머물러 서술·단답형을 열어 보지 못하는 상황을 피하세요. 20번의 조합 항등식 서술과 21번의 그래프 부호 판단은 먼저 접근할 수 있습니다. 이후 22~24번에 돌아와 경우를 나눈 기준과 제외 이유를 적을 시간을 확보하는 방식으로 모의 풀이 순서를 정하세요.

마지막 점검은 조건에 집중하세요. 8번에서는 후보가 가정한 증가·감소 조건에 맞는지, 11번에서는 제곱 전의 부호가 맞는지, 16번에서는 치역이 겹치지 않는지 확인해야 합니다. 19번의 이웃 관계와 23번의 점근선에서는 그림의 가까워 보이는 모습만으로 판단하지 않는 것이 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 기본 범위부터 정리하세요. 점근선, 정의역과 치역, 역함수의 정의역을 말로 설명한 뒤 그래프에 표시합니다(1·2·5·11번 대비).
2. 선택과 배열을 구별하고 여사건을 연습하세요. 전체 경우와 제외할 경우를 먼저 적고, 같은 대상을 순서만 바꾸어 중복해서 세지 않는지 확인합니다(3·4·6·9번 대비).
3. 유리함수 그래프를 조건으로 읽으세요. 제한된 구간의 최대·최소와 점근선 사이 거리, 그래프 위치에 따른 계수의 부호를 연결합니다(8·12·15·21번 대비).
4. 일대일대응을 배열로 바꾸어 보세요. 고정되는 순서와 자유롭게 배치할 부분을 나누고 구간별 함수에서는 치역을 비교합니다(10·16·18번 대비).
5. 경우 분류의 기준을 표로 정리하세요. 소인수 조건, 방 구성, 색의 인접 관계, 원소의 소속을 각각 먼저 제한한 뒤 계산합니다(7·14·17·19·22번 대비).
6. 절댓값 그래프의 부호 경계와 점근선을 표시하세요. 구간별 교점과 대칭성을 검토하고, 조합의 성질도 근거를 생략하지 않고 서술합니다(13·20·23·24번 대비).