잠실여자고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

잠실여자고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

잠실여자고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 단원은 명제, 절대부등식, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 논리와 부등식의 기초에서 함수 해석과 경우의 수까지 함께 준비해야 합니다.

경우의 수에서는 고르기와 배열하기를 구별하고, 조건에 맞지 않는 배치를 제외하는 판단이 반복됩니다. 함수에서는 식을 변형하는 능력에 더해 정의역과 치역, 점근선, 대칭성을 읽어야 합니다. 익숙한 공식이라도 어느 대상에 적용하는지 먼저 확인하는 시험입니다.

서술·단답형에도 기본 부등식과 조합 문제부터 복합적인 그래프 문제까지 섞여 있습니다. 번호 순서만으로 난도를 예상하기보다 전체를 살펴 접근 가능한 문제를 확보하세요. 풀이에서는 계산 결과뿐 아니라 경우를 나눈 이유와 제외한 조건을 짧게 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반 함수 문항의 조건 연결

자동 분류 기준 쉬움 문항은 명제의 논리, 부등식의 기본 적용, 함수의 대입과 성질 확인에 분포합니다. 후반의 15·19번도 쉬움이므로 앞선 문제에서 풀이가 막혔다고 뒤쪽까지 모두 미루지 않는 편이 좋습니다. 기본형에서는 충분조건의 포함 방향과 부등식의 등호 조건을 정확히 써야 합니다.

보통 문항은 단순한 공식 대입보다 조건을 해석한 뒤 계산하는 유형입니다. 3·4·16번은 대상을 나누거나 배정하는 방식을 정해야 하고, 10·13·20번은 역함수의 존재나 정의역 조건을 함께 검사해야 합니다. 보통으로 분류되었더라도 조건을 빠뜨리면 다시 계산하게 될 수 있습니다.

어려움 문항은 11·17번에서 먼저 등장하고 22·23·25번으로 이어집니다. 11번은 정확히 이웃하는 부부의 수, 17번은 절댓값 그래프와 역함수의 정의 가능성, 후반부는 함수의 개수와 합성 및 도형 조건을 다룹니다. 이 분류는 자동 분류 기준이므로 개별 학생의 체감 난도와 같다고 단정하지는 않습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 유리함수의 확장

순열조합은 대진표, 과일 분배, 좌석 배치, 문제 선택, 구두 선택, 색칠, 증가함수의 개수로 나타납니다. 상황은 달라도 구별되는 대상과 구별되지 않는 묶음을 정하는 것이 출발점입니다. 조건을 적용하기 전에 세는 대상부터 문장으로 적어 보세요.

유리함수는 7·8번의 점근선과 그래프 성질에서 17번의 교점 조건, 24번의 거리 최솟값, 25번의 직선과 도형 관계로 확장됩니다. 그래프의 중심과 점근선을 먼저 표시한 뒤 식을 세우면 필요한 조건이 드러납니다. 절대부등식에서 익힌 최솟값 도구도 유리함수의 거리 문제에 연결됩니다.

합성함수와역함수는 함수값 계산뿐 아니라 일대일대응, 그래프의 교점, 정의역 안의 근을 다룹니다. 무리함수에서는 근호의 성립 조건과 역함수의 정의역을 구별해야 합니다. 단원을 따로 복습한 뒤 합성과 정의역을 공통 주제로 묶어 연습하는 것이 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 증가와 순열조합의 비중

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 21문항에서 25문항으로, 서술·단답형은 6문항에서 8문항으로 늘었습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 7문항에서 5문항으로 줄었지만 전체 문항 수가 늘었으므로, 어려움의 개수만으로 시간 부담까지 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 집합과 합성함수와역함수가 각각 6문항으로 가장 많았고, 올해는 순열조합이 7문항으로 가장 많습니다. 공통 단원 중 유리함수는 3문항에서 5문항으로 늘고 합성함수와역함수는 6문항에서 4문항으로 줄었습니다. 공통 개념을 유지하면서 올해 비중이 큰 분배와 배열, 유리함수의 도형 연결을 함께 준비하세요.

작년 어려움 문항은 12·14·15·17·19·20·21번이었고 올해는 11·17·22·23·25번입니다. 올해도 객관식과 서술·단답형 모두에 어려움 문항이 있으므로 어느 형식을 먼저 끝낼지 고정하기보다 풀이가 보이는 문항을 찾아 이동하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 자료의 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전 분류와 계산 뒤 조건 검토가 필요합니다. 풀이가 길어질수록 처음의 선택 조건, 정의역, 위치 관계를 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 논리와 기본 함수값처럼 출발점이 분명한 문항부터 처리하세요. 11번에서 중복 제거가 정리되지 않으면 표시한 뒤 다음 문항을 살펴보는 편이 좋습니다. 17번을 마친 뒤에야 서술·단답형을 시작하기보다 18·19번처럼 기본 접근이 보이는 문제를 먼저 확보하는 운영도 연습하세요.

경우의 수에서는 정확히 조건을 만족하는지 마지막에 검사하세요. 4번은 빈 그릇의 제외, 11번은 남은 부부까지 이웃하는 배치의 제외, 18번은 추가로 짝이 완성되지 않는 선택이 중요합니다. 21번은 앞서 칠한 영역의 색 관계에 따라 뒤의 선택지가 달라지므로 모든 단계를 같은 수로 곱하면 안 됩니다.

함수 문항에서는 정의역과 경계를 검토할 시간을 남겨 두세요. 13번은 원래 함수의 치역을 역함수의 정의역으로 옮겨야 하며, 20번은 판별식 외에 근이 허용된 범위에 속하는지도 확인해야 합니다. 23번은 합성의 성립 조건, 24번은 부등식의 등호 성립 가능성, 25번은 기울기와 좌표의 부호를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제는 대우와 삼단논법, 충분조건의 포함 방향을 함께 정리하세요. 귀류법에서는 처음 가정과 마지막 모순을 연결해 설명하세요(1·2·5번 대비).
2. 산술평균과 기하평균, 코시·슈바르츠 부등식을 복습하세요. 최솟값의 하한을 얻은 뒤 등호 조건이 원래 제약과 양립하는지 확인하세요(6·19·24번 대비).
3. 함수의 입력과 합성 순서, 역함수의 정의역을 먼저 익히세요. 구간별 함수의 일대일대응과 그래프에서의 합성으로 확장하세요(9·10·12·13·14·15·20번 대비).
4. 경우의 수는 선택·배열·분배를 구별하는 연습부터 하세요. 구별되지 않는 묶음과 빈 곳 금지, 정확히 만족하는 개수의 조건을 표시하세요(3·4·11·16·18번 대비).
5. 조건에 따라 뒤의 선택 수가 달라지는 유형을 연습하세요. 색의 일치 여부와 증가함수의 중간값을 기준으로 경우를 나누세요(21·22번 대비).
6. 유리함수와 무리함수는 점근선, 정의역, 치역을 먼저 그리세요. 이후 절댓값과 합성의 교점, 거리와 넓이 조건을 덧붙여 보세요(7·8·17·23·24·25번 대비).