압구정고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

압구정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

압구정고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 대응의 정의부터 그래프의 위치 관계와 경우의 수까지, 개념을 여러 표현으로 바꾸어 읽는 능력이 필요합니다.

기본 문항은 함수가 되는 대응, 순열과 조합의 기호, 구슬이나 선수의 선택처럼 출발점이 분명합니다. 이 구간에서는 공식을 많이 쓰기보다 순서의 유무와 정의역의 조건을 정확히 판단해야 합니다. 기호를 아는 것과 상황에 맞게 선택하는 것을 함께 연습하세요.

후반에는 역함수의 존재 조건, 합성함수의 등식, 그래프와 도형 조건이 결합됩니다. 계산 결과만 얻고 멈추면 구간이나 부호 조건을 놓칠 수 있습니다. 서술·단답형에는 조합의 성질을 증명하는 문항도 있어, 계산 절차와 그 근거를 짧게 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~5번과 9·10·17·20번입니다. 함수의 정의와 조합의 기본 연산을 확인하는 문제가 포함됩니다. 다만 20번은 증명 문항이므로 분류가 쉬움이어도 이유를 적는 시간이 필요합니다. 평소 계산형 문제만 풀었다면 서술 과정에서 멈출 수 있습니다.

보통 문항은 6·7·8·11·18·19·21번입니다. 순열의 순위, 유리함수의 사분면, 회로를 유리식으로 표현하는 과정처럼 상황을 수학적 구조로 옮기는 단계가 있습니다. 서술·단답형에서는 그래프의 끝점이나 구간의 양 끝을 근거로 설명하는 능력도 필요합니다.

어려움은 12~16번과 22번입니다. 특히 객관식 후반은 대응의 구조와 구간별 조건을 연이어 판단해야 하므로 풀이 시간이 늘어날 수 있습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 개인별 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 막히는 문제에 오래 머무르기 전에 서술·단답형의 기본형을 확인하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 깊이

순열조합은 2·4·6·10·17·20번으로 가장 많습니다. 기호 계산, 선택, 자연수의 배열 순위, 성질의 증명까지 형태가 다양합니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 없지만, 순열과 조합을 구별하고 포함·제외 조건을 반영하는 기본기를 안정적으로 확보해야 하는 단원입니다.

함수와 합성함수와역함수는 각각 5문항입니다. 함수 단원의 14번은 일대일대응을 만족하는 대응의 개수를 다루며, 합성함수와역함수에서는 12·15·16번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 단원 이름이 단순해 보여도 유한집합의 대응과 실수 범위의 그래프 해석을 모두 준비해야 합니다.

유리함수와 무리함수는 각각 3문항입니다. 유리함수는 점근선과 절댓값 그래프를 도형 조건에 연결하고, 무리함수는 역함수 대칭과 교점 개수로 확장됩니다. 식을 그리는 연습에 더해 그래프에서 구간, 끝점, 대칭 관계를 읽어 식으로 되돌리는 연습을 하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 감소와 배치 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 24문항에서 22문항으로 줄었고 서술·단답은 6문항으로 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 15문항에서 6문항으로 줄었으며 쉬움과 보통은 늘었습니다. 이 변화는 분류상 구성의 차이로 읽어야 하며 실제 응시자의 성취를 설명하는 자료는 아닙니다.

작년에는 합성함수와역함수가 8문항으로 가장 많았고 올해는 5문항입니다. 순열조합은 6문항으로 같으며, 함수는 1문항에서 5문항으로 늘었습니다. 유리함수는 5문항에서 3문항, 무리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 함수의 정의와 대응 조건을 따로 점검할 필요가 있습니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움 문항은 객관식 7~13·15~18번과 서술·단답형 21~24번에 걸쳐 있었습니다. 올해는 객관식 12~16번과 서술·단답형 22번에 모입니다. 다음 시험 대비에서는 기본 대응과 경우의 수를 먼저 안정시키고, 합성·역함수의 조건 해석으로 확장하는 순서가 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 대응이나 입력의 범위를 정해야 한다는 것입니다. 경우를 나눈 기준을 먼저 적고, 계산 후 같은 기준으로 후보를 다시 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정의와 기본 기호를 확인하는 문제를 안정적으로 처리하세요. 6번의 순위 세기나 11번의 영역 해석에서 접근이 보이지 않으면 표시하고 이동하는 연습이 필요합니다. 12~16번에 머무르기 전에 17·20번을 포함한 서술·단답형 전체를 훑어 풀이를 시작할 수 있는 문제를 확보하세요.

서술·단답형은 출발 근거를 짧게 적어 시간을 줄이세요. 18번은 끝점과 정의역의 방향, 19번은 증가·감소에 따른 양 끝의 대응, 20번은 증명에 사용할 표현을 먼저 정하면 됩니다. 21번은 합성 순서를 풀어 쓴 뒤 치환하고, 22번은 역함수의 정의역을 식 옆에 적어 두는 것이 좋습니다.

검토할 때는 새로 계산하기보다 조건 누락을 찾으세요. 4·17번은 선택에서 순서를 세었는지, 7·13번은 구간별 부호를 지켰는지, 15번은 경계가 포함되는지 확인하세요. 16·22번에서는 제곱이나 치환 뒤 얻은 후보가 원래 구간에 속하는지 되돌아보는 과정이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 항등함수·상수함수·일대일대응을 대응 그림으로 구별하세요. 각 조건이 정의역과 공역 중 어디에 관한 것인지 설명해 보세요(1·5·9·19번 대비).
2. 계승과 순열·조합 기호를 정리한 뒤 선택과 배열을 구분하세요. 제외할 대상을 먼저 처리하고 조합의 성질을 말로 설명하는 연습을 더하세요(2·4·10·17·20번 대비).
3. 자리별 묶음으로 배열의 순위를 세고 유한집합의 대응을 구조별로 나누세요. 중복과 누락을 확인하는 기준을 적어 보세요(6·14번 대비).
4. 유리함수는 점근선과 절편, 무리함수는 끝점과 정의역을 먼저 표시하세요. 그래프와 도형 조건을 식으로 연결하는 연습을 하세요(7·8·13·18번 대비).
5. 합성은 안쪽부터 계산하고 역함수는 입력과 출력을 거꾸로 읽으세요. 구간별 치역과 치환 후의 입력을 함께 표시하세요(3·12·15·21번 대비).
6. 역함수 대칭을 넓이와 교점 문제로 확장하세요. 판별식과 별도로 정의역·부호 조건을 확인하는 검토 칸을 마련하세요(11·16·22번 대비).