수내고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

수내고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

수내고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 그래프를 읽는 기본에서 시작해 합성 관계와 조건부 경우의 수로 이어집니다.

초반에는 함수 여부, 순열과 조합의 기호, 이웃하는 배열처럼 출발점이 분명한 문제가 나옵니다. 후반에는 같은 개념을 여러 조건과 연결합니다. 유리함수의 대칭성이 무리함수의 성질 판단으로 이어지거나, 구간의 변화가 합성함수의 최솟값과 결합되는 구조를 읽어야 합니다.

서술·단답형은 새로운 계산 기법보다 익숙한 원리를 논리적으로 설명하는 힘이 필요합니다. 거리의 합을 양수인 식으로 바꾸거나 실근 조건을 순서쌍의 조건으로 바꾼 뒤 근거를 써야 합니다. 풀이의 첫 줄에 무엇을 변수로 둘지와 어떤 조건을 사용할지 정하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반에 집중된 조건 해석

1~7번은 자동 분류 기준 쉬움입니다. 다만 정의역과 치역, 자연수의 첫 자리 제한처럼 기본 조건을 빠뜨리면 실수가 생깁니다. 개념을 확인한 뒤 계산하는 순서를 유지하면서 이 구간의 소요 시간을 줄이는 것이 후반 대비의 출발점입니다.

8·9번에서 합성의 역함수와 경우 분류를 다룬 뒤 10·11번에 어려움 문항이 등장합니다. 12번은 보통으로 돌아오므로 앞에서 막혔다고 이후 문항을 일괄적으로 미루지 마세요. 13~18번은 모두 어려움으로, 그래프의 구조나 조건의 적용 범위를 해석하는 부담이 이어집니다.

19·20번은 서술·단답형이지만 자동 분류 기준 보통입니다. 형식만 보고 마지막까지 남겨 두면 작성할 근거를 충분히 쓰지 못할 수 있습니다. 난이도 분류는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 같다고 단정할 수 없으므로, 연습에서는 자신의 풀이 시작 속도도 함께 확인하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 기본 기호 계산부터 배열, 집합에서의 선택, 격자 도형, 인접 조건, 판별식과 결합한 경우의 수까지 다룹니다. 순열인지 조합인지만 구별하는 공부로는 부족합니다. 먼저 고정할 대상을 정하고, 남은 선택이 독립적인지 확인한 뒤 합의 법칙과 곱의 법칙을 적용해야 합니다.

합성함수와역함수에서는 식을 끝까지 구하지 않고도 구조를 이용할 수 있습니다. 8번은 합성의 역함수 관계, 13번은 대칭성과 반복 합성의 주기를 살펴보는 것이 핵심입니다. 반면 17번은 안쪽 함수가 만드는 값의 구간을 바깥 함수에 전달해야 하므로 범위 해석까지 연습해야 합니다.

함수의 정의와 그래프 단원도 초반 개념 확인으로 끝나지 않습니다. 18번은 공역과 일대일대응이 가능한 함숫값을 제한하며, 16번은 정의역과 교점 개수를 연결합니다. 개념 문장을 외우는 데서 나아가 그 조건 때문에 어떤 후보가 제외되는지 설명해 보세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항 수는 같고 단원 배분은 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수도 같지만 쉬움은 늘고 보통은 줄었습니다. 이 변화만으로 전체 시험이 쉬워졌다고 단정하기보다 초반 기본형과 후반 조건 해석의 대비가 어떻게 나타나는지 살펴보는 편이 좋습니다.

순열조합은 작년에도 가장 많았으나 올해 비중은 줄었고, 합성함수와역함수는 작년보다 늘었습니다. 유리함수는 문항 수가 같으며 무리함수는 줄고 함수는 늘었습니다. 경우의 수를 계속 준비하되 합성 순서와 치역 구간을 다루는 학습을 함께 보강할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 8번부터 등장했고 올해는 10번부터 등장합니다. 양쪽 모두 객관식 후반에 어려움이 이어지고 서술·단답형은 보통으로 분류되어 있습니다. 다음 시험 대비에서도 기본형의 정확도를 높인 뒤 객관식 후반을 푸는 연습과 서술형 작성 시간을 확보하는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 선정한 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산보다 조건의 적용 대상을 정하는 일이 먼저라는 점입니다. 그림에 인접 관계를 표시하고, 정의역과 구간을 그린 뒤 식을 세우면 빠진 조건을 찾기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본형을 정확히 처리하고 8·9번에서 합성 순서와 경우 분류를 확인하세요. 10·11번에서 접근이 보이지 않으면 표시하고 12번을 살펴보는 편이 좋습니다. 후반의 연속된 어려움 문항에서 같은 식을 반복해서 정리하기보다 필요한 조건이 무엇인지 먼저 적어 보세요.

19·20번은 끝에 있지만 서술·단답형을 작성할 시간을 별도로 확보하세요. 19번은 거리의 양수성과 부등식의 등호 성립 조건을, 20번은 실근 조건과 경우 분류의 근거를 문장으로 남겨야 합니다. 연습할 때는 계산이 끝난 시점과 논리적인 서술까지 끝난 시점을 구별해 소요 시간을 확인하세요.

검토에서는 조건이 바뀌는 지점을 우선 확인하세요. 10번의 입력 구간, 14번의 인접 관계, 16번의 교점이 합쳐지는 경계, 18번의 관계식이 적용되는 입력 범위를 다시 보세요. 경우의 수에서는 중복과 누락을, 최솟값에서는 하한을 실제로 달성할 수 있는지를 확인하는 습관이 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 대응 관계를 먼저 복습하세요. 정의역·공역·치역을 구별하고 일대일대응 조건으로 가능한 출력을 좁혀 보세요(1·4·18번 대비).
2. 순열과 조합의 기호부터 배열의 기본형을 정리하세요. 이웃하는 대상을 묶는 방법과 첫 자리 제한을 말로 설명해 보세요(2·3·6번 대비).
3. 경우의 수는 기준을 먼저 고정하는 연습으로 확장하세요. 집합별 선택, 경계선 선택, 인접 조건, 판별식 조건을 중복 없는 분류로 표현하세요(9·11·14·20번 대비).
4. 합성과 역함수는 적용 순서를 화살표로 적어 보세요. 구간별 함수와 유리수·무리수 분류를 추적하고 반복 합성에서는 주기를 먼저 찾으세요(8·10·12·13번 대비).
5. 유리함수와 무리함수는 점근선·대칭 중심·정의역·치역을 함께 표시하세요. 최솟값 문제에서는 양수 조건과 등호 성립을 서술하세요(5·7·15·19번 대비).
6. 매개변수와 움직이는 구간 문제를 마지막에 연습하세요. 공통 정의역과 교점 개수, 안쪽 함수의 치역과 꼭짓점의 위치를 그림으로 비교하세요(16·17번 대비).