돌마고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

돌마고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 시험은 함수, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열과 조합을 다룹니다. 객관식 18문항으로 개념 적용을 확인한 뒤 서술·단답형 2문항으로 풀이의 조건과 과정을 정리하는 구성입니다.

기본 공식에 바로 대입하는 문제와 다른 개념을 연결해야 하는 문제가 섞여 있습니다. 유리함수를 표준형으로 바꾸어 역함수나 거리 문제를 해석하고, 무리함수 위의 점을 이용해 도형의 넓이를 다루는 등 표현을 바꾸는 능력이 필요합니다.

순열조합은 가장 많은 문항을 차지하지만 전부 같은 방식으로 세지는 않습니다. 약수의 지수 선택, 크기순 배열, 이웃 조건, 부분집합 선택을 구분해야 합니다. 함수 문제도 식 계산만 반복하기보다 그래프의 대칭과 합성의 순서를 확인하며 접근하는 편이 좋습니다.

난이도 분포 — 7번부터 이어지는 어려움 구간

자동 분류 기준 쉬움은 1·4·6번입니다. 무리함수의 증가·감소와 최대·최소, 약수 조건, 조합과 여사건을 확인하는 문제이므로 기본 개념을 정확하게 적용해 시간을 확보할 구간입니다. 보통으로 분류된 2·3·5번도 초반에 있으나, 역함수의 입력 구간과 사분면 조건은 따로 확인해야 합니다.

7~12번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 정수 좌표, 자기 자신과의 합성, 거리의 최솟값, 도형과 역함수, 반복 합성, 조건부 배열로 주제가 바뀌므로 앞 문제의 풀이 틀을 그대로 이어 쓰기 어렵습니다. 식이 길다는 이유보다 새로운 관점을 골라야 한다는 점에서 부담이 생깁니다.

후반의 13·17번은 보통 문항입니다. 중간의 어려운 문제를 해결하지 못해도 이 문항들을 먼저 확인할 가치가 있습니다. 19·20번은 자동 분류 기준 모두 어려움이며, 구한 후보가 정의역이나 홀짝 조건에 맞는지를 설명할 시간까지 남겨야 합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 기본적인 선택에서 조건을 만족하는 배열까지 폭이 넓습니다. 12번에서는 고르는 단계와 배치하는 단계를 나누어야 하고, 14번에서는 대수 조건을 경우의 수 조건으로 바꾸어야 합니다. 단원 비중이 높으므로 공식 암기와 함께 무엇을 기준으로 나눌지 말로 설명하는 연습이 필요합니다.

합성함수와역함수는 2번의 구간별 계산에서 시작해 10·11번의 도형 및 반복 합성으로 확장됩니다. 특히 19·20번에 다시 등장하므로 초반 계산 연습만으로 대비를 마치기 어렵습니다. 역함수의 정의역과 합성의 중간 입력값을 확인하는 습관이 서술형에서도 이어져야 합니다.

유리함수는 7·8·9번, 무리함수는 15·16번이 자동 분류 기준 어려움입니다. 점근선, 대칭의 중심, 그래프의 시작점과 이동 범위를 표시하는 연습이 중요합니다. 3번처럼 단원 분류는 유리함수이지만 여러 형태의 함수 그래프를 함께 판별하는 문제도 있어 분류명만 보고 풀이를 한정하면 안 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 증가와 서술·단답형의 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수도 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 12문항으로 늘었고, 쉬움은 7문항에서 3문항으로 줄었습니다. 보통은 5문항으로 같으므로 기본 문제를 빠르게 처리한 뒤 여유를 얻는 구간이 좁아진 구성으로 해석할 수 있습니다.

순열조합은 작년 8문항, 올해 7문항으로 두 시험 모두 가장 많습니다. 유리함수는 7문항에서 4문항으로 줄었고 무리함수는 3문항으로 같습니다. 올해는 합성함수와역함수 5문항이 별도 분류되어 있어, 함수 영역을 공부할 때 합성과 역함수의 조건까지 연결해야 합니다.

작년에는 11번부터 어려움 문항이 나타났으나 올해는 7번부터 시작합니다. 서술·단답형도 작년 19번은 보통이었지만 올해 19·20번은 모두 어려움입니다. 따라서 후반 문제만 집중하는 방식보다 중반에서 막힐 때의 이동 순서와 서술 과정 확보를 함께 연습하는 편이 좋습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위를 확인한 것이 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산에 들어가기 전 조건을 나누는 기준이 필요하고, 마지막에는 후보를 다시 검증해야 합니다. 풀이가 막히면 식을 늘리기보다 정의역, 치역, 홀짝 중 어떤 조건이 경우를 가르는지 먼저 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본·보통 문항을 차분하게 처리한 뒤 7~12번의 풀이 방향이 보이는지 판단하세요. 중반에서 출발점을 찾지 못한 문제는 표시해 두고 13·17번처럼 접근 가능한 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 고난도 구간을 반드시 번호순으로 끝내려 하면 후반 확인 시간이 부족해질 수 있습니다.

서술·단답형 19·20번은 객관식 풀이를 모두 끝낸 뒤 처음 읽기보다 미리 요구하는 과정과 조건을 확인하세요. 역함수의 정의역을 적고 후보를 검토하는 과정, 홀짝별 분기와 제외 이유를 쓰는 과정이 필요합니다. 연습할 때는 식을 얻는 시간과 답안을 정리하는 시간을 함께 기록해 배분을 조정하세요.

마지막 검토에서는 2번의 구간 선택, 7번의 분모 제한과 음의 약수, 13번의 중복, 17번의 서로 다른 집합 조건을 확인하세요. 19번에서는 제곱 전 부호와 역함수의 정의역을, 20번에서는 중간값과 원래 입력의 홀짝을 따로 점검해야 합니다. 계산 결과만 다시 읽기보다 처음 세운 조건과 대조하는 검토가 유용합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 함수와 선택부터 정리하세요. 무리함수의 증감, 사분면의 부호, 조합과 여사건을 설명하며 풀어 보세요(1·3·4·6번 대비).
2. 합성과 역함수의 입력을 추적하세요. 구간을 표시한 뒤 함수 적용 순서와 역함수의 정의역·치역을 말로 설명하세요(2·8·11·19번 대비).
3. 유리함수를 표준형과 그래프로 바꾸세요. 대칭 중심과 점근선을 이용해 정수 좌표 및 거리 조건을 읽는 연습을 하세요(7·9번 대비).
4. 조건부 선택과 배열을 분리하세요. 기준값 고정, 조합 선택, 배열, 중복 제외를 구분해 풀이의 각 단계가 무엇을 세는지 적으세요(5·12·13·17번 대비).
5. 그래프와 도형을 연결하세요. 시작점·점근선에 따른 위치 관계와 점의 좌표를 이용한 길이·넓이 표현을 연습하세요(10·15·16번 대비).
6. 경우 나누기를 서술로 완성하세요. 대수 조건과 홀짝, 치역 조건을 분류표로 적고 모든 후보를 원래 조건에 확인하세요(14·18·20번 대비).