인천효성고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

인천효성고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

인천효성고등학교는 인천 계양구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 합성함수와역함수, 무리함수, 유리함수, 함수입니다. 함수의 대응과 그래프를 읽는 기본기에서 출발해 조건이 붙은 배열과 함수의 개수까지 다룹니다.

초반에는 곱의 법칙, 합성과 역함수의 함숫값, 무리함수의 정의역과 치역, 유리함수의 평행이동을 확인합니다. 이어 함수가 성립하는 조건과 순열의 성질을 설명하는 과정이 등장합니다. 공식을 기억하는 것과 그 공식이 적용되는 이유를 이해하는 것을 함께 요구하는 시험입니다.

후반에는 무리함수의 그래프 정보를 유리함수로 옮기거나, 합성함수의 방정식을 치환과 그래프로 해석해야 합니다. 경우의 수에서도 인접 조건, 함숫값의 대소, 칸에 놓는 수의 합 등 여러 제한이 연결됩니다. 조건을 한꺼번에 계산하기보다 서로 관련된 조건부터 묶는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움 문항은 초반에 배치되어 있습니다. 1번의 곱의 법칙과 6번의 여사건, 2·3번의 함수값 추적, 7번의 평행이동이 기본 점검 대상입니다. 짧게 풀 수 있어도 합성의 안쪽부터 계산하는 순서나 역함수에서 입력과 출력이 바뀌는 의미를 정확히 확인해야 합니다.

보통 문항은 배치와 범위 판단이 중요합니다. 4번은 교대 배열의 자리 구조, 8번은 치역과 공역의 포함 관계, 10번은 점근선과 최댓값의 차이를 다룹니다. 11번은 특정 원소의 포함 여부로 경우를 나누는 논리를 읽어야 하므로 순열 공식의 단순 대입과 구별해 연습하세요.

12~19번에는 자동 분류 기준 어려움 문항이 이어집니다. 그래프에서 얻은 정보를 다시 식으로 옮기거나 조건을 만족하는 경우만 남기는 과정이 길어질 수 있습니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없지만, 후반부에 검토 시간을 남겨 두어야 하는 구성임은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건을 함께 준비

순열조합은 곱의 법칙과 조합의 기본형부터 이웃하는 배열, 수 배치, 자릿수 제한으로 확장됩니다. 13번과 21번에서는 조건을 만족하는 전체를 정한 뒤 금지된 경우를 빼는 관점이 유용합니다. 19번은 합 조건으로 가능한 묶음을 먼저 좁혀야 하므로 처음부터 모든 배열을 나열하는 방식은 부담이 큽니다.

합성함수와역함수는 함숫값 계산에서 그래프와 도형 해석으로 이어집니다. 14번에서는 치환한 값의 범위와 원래 입력을 구별하고, 15번에서는 역함수와의 교점 정보를 넓이 조건에 연결합니다. 20번은 합성 순서를 보존하면서 역함수를 소거하는 과정을 서술해야 합니다.

함수 단원도 경우의 수와 연결됩니다. 16번은 함숫값 사이의 부등식을 만족하는 선택을 세며, 17번은 구간별 치역이 겹치거나 빠지지 않도록 해야 합니다. 무리함수와 유리함수에서는 식의 변형뿐 아니라 정의역, 점근선, 교점의 존재 조건을 말로 설명할 수 있어야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 식을 변형한 뒤 원래 조건으로 돌아와야 한다는 것입니다. 치환 전후의 변수 범위와 그래프의 경계를 나란히 적으면 계산 결과만 남기는 실수를 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형을 안정적으로 처리하고 후반 문항의 접근법을 짧게 확인하세요. 12~19번에서 그래프나 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 20번의 서술 과정을 먼저 정리하는 운영도 가능합니다. 21번도 포함 조건과 제외 조건으로 시작할 수 있으므로 마지막 번호라는 이유만으로 미리 포기할 필요는 없습니다.

함수 문제를 검토할 때는 정의역과 치역을 먼저 보세요. 8번은 함숫값이 공역을 벗어나는지, 10번은 점근선의 값을 실제로 갖는지, 17번은 구간별 치역 사이에 겹침이나 빈틈이 있는지가 중요합니다. 18번은 제곱이나 치환을 하기 전의 부호 제한을 풀이 옆에 남겨 두세요.

경우의 수에서는 무엇을 먼저 골랐는지 기록하는 습관이 필요합니다. 13번은 묶음 내부의 순서, 16번은 조건을 공유하는 입력의 범위, 19번은 사용한 수와 남은 수, 21번은 금지된 자리 조건을 확인하세요. 서술형 20번에서는 역함수가 소거되는 합성 순서를 적고 함숫값 계산으로 넘어가야 풀이의 근거가 드러납니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱의 법칙과 조합부터 복습하세요. 전체에서 제외하는 방식과 직접 나누어 세는 방식을 비교하고, 선택과 배열을 구별하세요(1·6·11번 대비).
2. 인접 조건과 자릿수 제한을 연습하세요. 자리 형태를 먼저 정하고 묶음 내부의 순서와 금지된 경우를 별도로 표시하세요(4·13·21번 대비).
3. 함수의 대응과 합성 순서를 정리하세요. 화살표로 입력의 이동을 추적한 뒤 같은 순서를 식으로 쓰고 역함수의 소거 이유를 설명하세요(2·3·20번 대비).
4. 정의역·치역·공역을 함께 점검하세요. 구간별 그래프의 끝점과 값의 범위를 그린 뒤 함수 성립과 일대일대응을 구별하세요(5·8·16·17번 대비).
5. 유리함수와 무리함수의 그래프를 연결해 연습하세요. 점근선, 절편, 시작점을 표시하고 근호식의 유리화와 부호 제한을 확인하세요(7·9·10·12·18번 대비).
6. 복합 조건 문제는 변환과 복원 과정을 나누어 쓰세요. 치환한 변수의 범위, 도형의 밑변과 높이, 수 묶음의 가능 여부를 확인한 뒤 원래 조건으로 검산하세요(14·15·19번 대비).