양재고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

양재고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 뜻과 기본적인 대응에서 출발해 그래프의 대칭, 합성의 조건, 배열과 색칠의 경우의 수까지 다룹니다.

함수 문항에서는 식을 대입하는 능력만큼 입력과 출력의 관계를 읽는 능력이 중요합니다. 구간별로 정의된 함수의 역함숫값, 합성이 가능한 범위, 그래프에서 읽는 대응 관계가 반복됩니다. 유리함수와 무리함수에서도 정의역과 치역을 먼저 정리해야 후속 계산이 안정됩니다.

경우의 수는 기본 곱의 법칙부터 도형 포함 조건, 대진표의 중복, 이웃하지 않는 배열, 면의 색칠로 확장됩니다. 상황에 맞는 공식을 떠올리는 데서 끝내지 말고 무엇을 구별하는지 설명할 수 있어야 합니다. 서술·단답형에서는 조건을 식이나 경우 분류로 남기는 연습도 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 어려움

쉬움 문항은 1·2·3·4·6번입니다. 함수의 정의, 함수의 개수, 무리함수의 이동, 조합 기호, 곱의 법칙처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 여기서 계산을 빠르게 마치는 것과 함께 함수의 대응 조건이나 순서 고려 여부를 정확히 확인하는 습관을 들이세요.

보통 문항은 초중반의 5·7·8·9·11·13번과 서술·단답형 21·22번입니다. 역함수의 존재, 치역의 포함 관계, 같은 함수의 정의처럼 개념을 다른 표현으로 바꾸는 단계가 필요합니다. 특히 11번은 합성식을 계산하기 전에 합성 자체가 정의되는지 살펴야 합니다.

자동 분류 기준 어려움 문항은 10·12번 이후 14~20번에 연속됩니다. 13번까지의 흐름만 보고 후반의 풀이 속도를 예상하기 어렵습니다. 서술·단답형 전체가 같은 난도는 아니므로, 후반 객관식에서 막히면 21·22번의 접근 가능성을 먼저 확인하는 운영이 도움이 됩니다.

출제 단원 — 합성·역함수와 순열조합의 비중

순열조합은 4·6·9·14·19·23번입니다. 기본적인 선택과 곱셈에서 시작하지만 후반에는 중복되는 대진표, 양 끝 조건이 있는 배열, 순환하는 인접 관계의 색칠을 다룹니다. 세는 대상의 구조를 그림으로 표시하고 같은 결과를 여러 번 세었는지 점검하는 공부가 필요합니다.

합성함수와역함수는 5·7·11·13·15·18번입니다. 역함수의 존재 조건과 구간별 계산을 익힌 뒤 그래프의 꺾이는 지점, 합성 순서, 되돌아오는 대응으로 확장하세요. 같은 함수 기호가 반복되어도 각 단계에서 입력하는 값의 범위가 달라질 수 있습니다.

함수의 17번은 일대일대응과 경우의 수가 결합되며, 유리함수의 20번은 점근선과 부호를 통해 사분면을 판단합니다. 무리함수의 10·16번은 역함수와 대칭을 도형 관계로 연결합니다. 단원별 표는 대표 분류이므로 실제 대비에서는 개념 사이의 연결까지 살피세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 총 문항은 같고 어려움 분류는 증가

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 5문항에서 3문항으로 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 10문항으로 늘었습니다. 서술·단답형의 수가 줄었다는 사실만으로 풀이 부담도 줄었다고 판단하기는 어렵습니다.

순열조합은 두 해 모두 6문항이며, 합성함수와역함수는 5문항에서 6문항으로 늘었습니다. 유리함수는 5문항에서 4문항, 무리함수는 2문항에서 3문항으로 바뀌었고 함수는 4문항으로 같습니다. 작년에는 여러가지순열이 별도 분류되어 있으므로 그 분류를 임의로 합치지 않고 비교해야 합니다.

작년 어려움은 10·13·14·17·18·22번이었고 올해는 객관식 14~20번에 연속됩니다. 서술·단답형의 어려움 위치도 작년 22번에서 올해 23번으로 달라졌습니다. 다음 시험을 준비할 때는 서술형만 따로 어렵게 연습하기보다 후반 객관식의 조건 해석과 기본 서술형을 함께 배치해 풀어 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 세운 계산 규칙을 끝까지 그대로 반복할 수 있는지 확인해야 합니다. 그림에 교환 가능한 부분, 구간 경계, 서로 이웃한 면을 표시한 뒤 계산하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 기본형을 확보한 뒤 계산이 길어지는 문항에 표시를 남기세요. 10·12번에서 오래 멈췄다면 11·13번을 확인하고, 후반 객관식을 다 마치기 전에도 21·22번을 살펴보세요. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위보다 전체를 한 번 훑고 재도전할 여유를 남기는 방식으로 연습하세요.

함수 문제는 조건을 여백에 짧게 적어 두는 것이 좋습니다. 7번은 후보가 해당 구간에 들어가는지, 10번은 제곱 전의 부호 조건, 11번은 치역의 전체 포함 여부를 확인하세요. 12번은 식을 간단히 만든 뒤에도 원래의 분모 조건이 유지되어야 하며, 22번은 증가·감소에 따라 양 끝의 역할을 구별해야 합니다.

경우의 수는 무엇을 하나의 결과로 세는지 마지막에 다시 읽어 보세요. 14번은 같은 대진표가 되는 교환, 17번은 일대일대응과 고정점 조건, 19번은 양 끝의 부문 조건을 확인해야 합니다. 23번은 처음과 마지막 옆면의 인접을 점검하고, 서술·단답형에는 경우를 나눈 이유까지 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 같은 함수의 조건부터 복습하세요. 출력의 유일성과 정의역의 선택을 구분하고, 함수 개수를 곱의 법칙으로 설명해 보세요(1·2·21번 대비).
2. 역함수의 존재 조건과 구간별 역함숫값을 연습하세요. 입력 후보를 얻으면 사용한 구간의 조건에 대조하는 단계를 붙이세요(5·7번 대비).
3. 합성은 안쪽 함수의 치역부터 확인하세요. 그래프의 대응을 화살표로 기록하고, 꺾이는 지점을 기준으로 합성 구간을 나누세요(11·13·15·18번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 이동·대칭·치역을 연결하세요. 교점을 식으로 구하기 전에 대칭과 증가성을 활용할 수 있는지 검토하세요(3·8·10·16·20·22번 대비).
5. 유리식은 분모 조건을 먼저 적고 소거 구조를 찾으세요. 약분한 뒤 남은 방정식의 후보가 원래 식에 허용되는지 확인하세요(12번 대비).
6. 경우의 수는 기본 선택에서 조건부 배열로 확장하세요. 대진표의 중복, 빈자리 배치, 일대일대응의 값 선택과 배열을 구별하세요(4·6·9·14·17·19번 대비).
7. 순환하는 색칠에서는 마지막과 처음의 관계를 따로 확인하세요. 이웃한 면을 선으로 연결해 경우를 나눈 뒤 서술로 분류 기준을 설명하세요(23번 대비).