효원고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

효원고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

효원고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 시험에서 확인되는 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 그래프를 읽는 능력에 경우의 수의 기본 원리와 조건 분류를 함께 묻는 구성입니다.

초반에는 역함수의 함숫값, 곱의 법칙, 순열과 조합의 기호처럼 출발 개념이 뚜렷한 문항이 나옵니다. 무리함수의 정의역과 치역, 유리함수의 점근선도 기본 확인 대상입니다. 기본형에서는 공식을 고르는 이유와 그래프에서 읽어야 할 정보를 정확하게 구분하는 것이 중요합니다.

후반에는 같은 개념에 조건이 더해집니다. 선택한 과목이 겹치는 경우를 세거나, 구간별 함수와 직선의 교점을 판단하거나, 전체 함수에 역함수가 존재하도록 내부 구간을 맞추어야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 분류 기준과 허용되는 범위를 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움 문항은 1~7번과 9·10번입니다. 순열조합에서도 묶어 세기와 자릿수별 분류가 포함되므로, 쉬움이라는 분류를 보고 조건 확인을 생략해서는 안 됩니다. 4번은 같은 문자를 구별하지 않는다는 점, 10번은 기준이 되는 수와의 대소를 앞자리부터 비교한다는 점을 확인하세요.

보통 문항인 8·12·13번은 함수의 성질을 연결하거나 식의 변환 방향을 판단하는 문제입니다. 11번이 어려움으로 분류되어 있어도 뒤의 12·13번까지 함께 미룰 필요는 없습니다. 번호 순서만 따라가기보다 각 문항에서 출발 개념이 보이는지 먼저 확인해 보세요.

14번부터 마지막까지는 어려움 문항이 이어집니다. 경우의 수에서는 중복과 누락을, 함수에서는 구간 경계와 치역을 동시에 점검해야 합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없지만, 후반을 위해 조건 정리 시간을 남겨 둘 필요는 분명합니다.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 조건 분류

순열조합은 기본 기호와 곱의 법칙부터 부분집합, 과목 선택, 자릿수 조건까지 이어집니다. 14번은 가장 작은 원소를 정해 양 끝을 고정하고, 17번은 공통 과목의 종류로 나누며, 18번은 같은 숫자가 허용되는 위치를 구별합니다. 공식을 외우는 것만큼 무엇을 먼저 고정해야 중복 없이 셀 수 있는지가 중요합니다.

합성함수와역함수에서는 입력과 출력의 이동을 정확하게 따라가야 합니다. 1·7·9번으로 기본 대응과 합성 순서를 익힌 뒤, 11번의 구간별 역함수와 12번의 변형된 함수의 역함수로 확장하세요. 함수 단원의 16·19번은 그래프와 구간 전체의 성질을 판단하는 데 무게가 있습니다.

무리함수와 유리함수는 그래프의 기본 정보가 조건 해석의 출발점입니다. 5·6번에서 시작점과 점근선을 읽는 능력을 확인하고, 13번의 평행이동과 15번의 절댓값 그래프 및 역함수 조건으로 연결됩니다. 그래프를 간단히 그린 뒤 식을 세우면 이동 방향이나 제외되는 함숫값을 놓치는 실수를 줄일 수 있습니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 조건 처리의 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 계산 전에 가능한 경우의 틀을 만들어야 한다는 것입니다. 경우를 나눈 기준을 먼저 쓰고, 계산을 마친 뒤 중복·누락과 경계 조건을 다시 검사하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 대응이나 공식이 바로 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 11번의 구간 판단에 시간이 걸리면 표시하고 12·13번을 확인하는 편이 좋습니다. 14번 이후에는 자동 분류 기준 어려움이 이어지므로, 객관식을 끝낸 뒤에야 서술·단답형을 처음 읽는 방식보다 전체 구조를 미리 살피는 운영을 연습하세요.

경우의 수는 계산식 위에 경우를 나눈 이유를 짧게 적으세요. 4번은 묶음 안의 같은 문자를 다시 배열하지 않는지, 14번은 양 끝을 정한 뒤 내부 원소만 고르는지 확인해야 합니다. 17·18번은 경우별로 남는 선택 대상과 같아도 되는 위치를 표시하면 검토할 때 처음부터 다시 셀 필요가 줄어듭니다.

함수 문항에서는 구간의 포함 여부를 마지막까지 유지하세요. 11번은 역으로 찾은 입력이 가정한 구간에 속하는지, 15번은 역함수의 입력이 치역에서 제외되지 않는지 점검해야 합니다. 16번은 열린 끝점의 교점을 세지 않았는지, 19번은 바깥 치역과 안쪽 치역이 겹치거나 비지 않는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 역함수의 대응과 합성 순서를 복습하세요. 입력을 넣는 순서를 화살표로 적고, 역함숫값은 원래 함수의 입력을 찾는 문제로 바꾸어 보세요(1·7·9번 대비).
2. 곱의 법칙과 순열·조합의 선택 기준을 정리하세요. 같은 문자의 구별 여부와 자릿수의 역할을 말로 설명한 뒤 계산해 보세요(2·3·4·10번 대비).
3. 그래프에서 정의역·치역·점근선·이동 방향을 읽는 연습을 하세요. 이동 전후의 대응점을 표시해 식의 부호를 확인하세요(5·6·13번 대비).
4. 함수의 종류와 역함수 조건을 연결하세요. 유한집합의 중복 없는 대응부터 구간별 역함수, 변형된 함수의 역함수로 확장하세요(8·11·12번 대비).
5. 조건부 조합에서는 먼저 고정할 대상을 찾으세요. 양 끝의 원소, 공통 선택, 같은 숫자의 위치를 기준으로 서로 겹치지 않는 경우를 만들어 보세요(14·17·18번 대비).
6. 그래프의 교점과 일대일대응 조건을 함께 연습하세요. 치역에서 빠지는 값, 열린 끝점, 이차함수의 축과 구간의 위치를 그림에 표시하세요(15·16·19번 대비).