경문고등학교
2025년 1학년 2학기 기말고사

경문고 고1 2학기 기말 공통수학2는 어떤 시험인가

경문고등학교는 서울 동작구에 있습니다. 이 시험은 객관식 18문항과 서술·단답형 4문항으로 구성됐습니다. 출제 내용은 명제의 참·거짓과 증명, 함수의 개수, 합성함수와 역함수, 유리함수와 무리함수, 산술평균과 기하평균의 관계까지 이어집니다.

함수 문항에서는 그래프를 식으로 바꾸는 기본 능력에 더해 대칭성, 평행이동, 구간별 치역을 함께 다룹니다. 무리함수라는 단원명만 보고 근호 계산에 집중하면 역함수와의 교점이나 도형의 넓이로 연결되는 부분에서 풀이 방향을 놓치기 쉽습니다.

명제도 용어 확인에 그치지 않습니다. 반례와 진리집합에서 출발해 필요·충분조건, 대우, 귀류법으로 이어집니다. 특히 8번의 명제를 22번 증명에서 이용하므로, 앞 문항에서 확인한 논리를 뒤 문항의 근거로 다시 사용할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 객관식 중후반에 이어지는 어려움 문항

자동 분류 기준 쉬움 문항은 반례의 집합 표현, 무리함수의 그래프 해석, 대우 증명 과정입니다. 개념을 정확하게 적용하면 풀이를 짧게 정리할 수 있는 문항이므로, 여기서 확보한 시간을 뒤의 조건 해석에 남겨 두는 것이 좋습니다.

초반에도 4번처럼 사분면 통과 조건을 나눠야 하는 문항이 끼어 있습니다. 이후 9~18번은 모두 어려움으로 분류돼 있어 번호순으로 끝까지 붙잡는 방식은 부담이 큽니다. 한 문항에서 조건 정리가 멈추면 표시하고 서술·단답형의 접근 가능한 부분을 먼저 확인하세요.

서술·단답형의 19·22번은 보통, 20·21번은 어려움입니다. 끝 번호라고 모두 같은 난도로 생각하지 마세요. 19번의 함수 개수와 22번의 증명은 계산량보다 조건 구분과 논리의 완결성이 중요하므로, 답안을 작성할 시간을 별도로 확보해야 합니다.

출제 단원 — 명제와 무리함수가 중심

명제와 무리함수는 문항 수가 같지만 준비할 내용은 다릅니다. 명제는 반례·부정·조건의 방향·증명법을 넓게 점검합니다. 무리함수는 시작점과 정의역이라는 기본에서 출발해 역함수, 이동, 절댓값, 교점 개수로 연결되므로 그래프를 상황에 맞게 바꾸어 읽는 훈련이 필요합니다.

유리함수는 모든 문항이 자동 분류 기준 어려움입니다. 점근선과 대칭의 중심을 파악한 뒤 사분면, 대칭축, 직선과의 교점으로 조건을 옮기는 과정이 공통입니다. 합성함수와역함수 역시 대응을 읽는 문항과 정수 조건·일대일대응을 해석하는 문항의 성격이 뚜렷하게 나뉩니다.

21번은 절대부등식으로 분류되지만 유리함수 위의 점과 직선, 삼각형의 넓이를 거쳐 부등식을 적용합니다. 단원별 공식만 따로 외우기보다 도형의 양을 식으로 정리하고, 그 식에 맞는 도구를 선택하는 연습까지 해야 합니다.

문항별 정리

같은 지역 학교와 비교 — 동작구의 함수·명제 시험

같은 2025학년도 1학년 2학기 기말고사 공통수학2를 치른 동작구 학교들과 비교하면, 이웃 학교 평균은 총 23.0문항, 서술·단답형 4.4문항입니다. 경문고는 문항 수가 평균보다 적고 서술·단답형 수도 평균보다 조금 적지만, 자동 분류 기준 어려움 비율은 59%로 이웃 학교 평균 40%보다 높습니다.

어려움 비율은 6개교 중 1위입니다. 이는 자동 분류 기준의 문항 구성 비교입니다. 가장 많은 단원은 이웃 학교에서 집합, 합성함수와역함수, 유리함수로 나뉘지만 경문고는 명제와 무리함수가 함께 중심을 이룹니다. 경문고를 준비할 때는 합성·역함수에 더해 명제의 증명과 무리함수의 복합 그래프를 충분히 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

세 문항은 모두 식의 계산보다 그래프가 정의되는 범위와 경계의 의미가 먼저입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 중 이러한 연결이 두드러지는 문항을 분석상 고난도 문항으로 골랐습니다. 풀이를 시작할 때 구간·치역·경계를 작은 그림에 표시하는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 1~8번에서 개념이 바로 떠오르는 문항부터 처리하되, 사분면 조건이 복잡해지는 4번은 별도로 표시하세요. 한 번 읽고도 그래프의 분기 기준을 세우지 못했다면 오래 계산하기보다 다음 문항으로 이동하는 편이 좋습니다.

9~18번에서는 풀이를 시작하기 전 사용할 도구를 적어 보세요. 점근선과 대칭, 평행이동, 정수 조건, 구간별 치역 중 무엇을 쓸지 정하면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다. 서술·단답형을 확인할 시간을 남기고, 19번의 조건 구분과 22번의 증명 작성도 끝까지 마무리하세요.

검토할 때는 무리함수의 공통 정의역, 제곱 전 양변의 부호, 일대일대응의 치역, 최솟값의 등호 성립 조건을 우선 확인하세요. 22번에서는 서로소 가정과 모순의 대상이 명시돼 있는지 점검해야 합니다. 계산 결과만 다시 보는 것보다 조건이 풀이 전체에서 유지됐는지 확인하는 검토가 필요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 반례·부정·필요충분조건을 진리집합과 연결하고, 대우와 귀류법의 논리 순서를 말로 설명하세요. 1·6·7·8·12·22번 대비입니다.
2. 대응표와 그래프에서 합성함수와 역함수의 입력·출력을 읽은 뒤, 일대일대응의 구간별 치역으로 확장하세요. 2·3·18번 대비입니다.
3. 유리함수의 점근선과 대칭의 중심을 표시하고, 좌표축·직선과의 위치관계를 평행이동으로 단순화하세요. 4·9·14번 대비입니다.
4. 무리함수의 시작점·공통 정의역·증가성을 확인한 뒤 역함수와의 교점, 이동에 따른 넓이, 절댓값 구조를 연습하세요. 5·10·11·15번 대비입니다.
5. 구간별 함수의 실근 개수와 무리함수의 교점 조건을 경계별로 정리하고, 제곱 전후 조건을 대조하세요. 17·20번 대비입니다.
6. 함수 개수의 조건과 합성에 따른 제한을 대응 그림으로 정리하고, 정수 조건은 약수 조건으로 바꾸어 보세요. 13·16·19번 대비입니다.
7. 도형의 길이와 넓이를 식으로 옮긴 뒤 부등식을 적용하고 등호 조건까지 서술하세요. 21번 대비이며, 마지막에는 이 시험을 시간 제한을 두고 다시 풀어 조건 누락을 점검하세요.