매탄고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

매탄고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 무리함수, 합성함수와역함수, 함수입니다. 경우의 수와 함수의 성질을 함께 준비해야 하는 범위이며, 순열조합의 출제 비중이 가장 큽니다.

순열조합에서는 단순히 순서를 정하거나 대상을 선택하는 문제뿐 아니라 자연수 조건, 약수의 조건, 도형의 넓이와 삼각형 성립 조건을 경우의 수로 바꾸는 문제가 나옵니다. 공식을 많이 외우는 데서 끝내지 말고, 무엇을 기준으로 경우를 나누며 각 경우가 겹치지 않는지 설명하는 연습이 필요합니다.

함수에서는 기본 그래프의 평행이동부터 역함수와 선분의 만남, 곡선 위 직사각형, 합성 조건까지 다룹니다. 앞부분의 기본 문제와 후반의 조건 결합 문제 사이에 풀이 단계의 차이가 있습니다. 식을 길게 전개하기 전에 그래프의 시작점이나 점근선처럼 구조를 드러내는 정보를 먼저 표시해 보세요.

난이도 분포 — 10~15번에 이어지는 조건 해석

쉬움 구간에서는 무리식의 곱셈, 순열과 조합, 경유지가 있는 최단경로, 유리식의 정리가 중심입니다. 기본형을 정확하게 처리하면 후반을 위한 시간을 확보할 수 있습니다. 특히 16번은 서술·단답형이지만 자동 분류 기준 쉬움이므로, 형식만 보고 마지막까지 미뤄 둘 필요는 없습니다.

보통 구간에서는 자연수 순서쌍을 빠짐없이 세거나, 그래프의 성질을 여러 관점에서 판단해야 합니다. 9번의 이웃하는 배열과 17번의 함수 개수는 순열과 조합을 구별하는 판단이 필요합니다. 계산은 익숙해도 선택 단계와 배열 단계를 섞으면 중복되거나 빠지는 경우가 생깁니다.

자동 분류 기준 어려움은 10~15번과 18번입니다. 주사위 결과의 중복 처리, 선분과 역함수의 위치 관계, 도형 조건을 대수식으로 옮기는 과정이 부담 요인입니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니지만, 후반의 조건 해석에 별도의 연습 시간을 둘 근거는 됩니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 유리함수의 연결

순열조합은 시험의 절반을 차지하며 기본형과 응용형이 모두 포함됩니다. 2·4·6번에서 순열·조합과 곱의 법칙을 확인한 뒤, 3·8·9번의 조건 처리로 넘어가세요. 10·13·14번은 세기 전에 가능한 결과의 형태나 길이의 범위를 정해야 하므로, 문제를 보자마자 순열·조합 기호부터 쓰는 습관을 점검할 필요가 있습니다.

유리함수는 평행이동을 다루는 5번, 도형과 결합하는 15번, 유리식을 정리하는 16번, 역함수와의 관계를 묻는 18번으로 구성됩니다. 11번도 분류 단원은 합성함수와역함수이지만 유리식의 정수 조건을 활용합니다. 유리함수의 식을 점근선과 남는 분수항이 보이는 형태로 바꾸는 연습이 여러 문제에 연결됩니다.

무리함수에서는 근호의 계산과 그래프의 기본 성질이 12번의 역함수 문제로 이어집니다. 정의역과 치역을 별개의 암기 항목으로 두지 말고, 역함수를 만들 때 서로 어떻게 바뀌는지 확인하세요. 함수 개수를 다루는 17번은 함수 단원으로 분류되지만, 학습할 때는 순열조합의 경우 분류와 함께 복습하기 좋습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 순열조합 비중과 어려움 구간의 변화

작년과 올해는 같은 수학(하) 시험이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 줄고 보통과 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형은 줄었지만, 이 변화만으로 풀이 부담도 줄었다고 판단하기는 어렵습니다. 올해는 후반 객관식에서 조건을 여러 단계로 해석하는 연습이 필요합니다.

작년에도 순열조합이 가장 많았고 올해는 그 비중이 더 커졌습니다. 유리함수도 작년 2문항에서 올해 4문항으로 늘었으며 무리함수는 각각 3문항입니다. 반면 함수와 합성함수와역함수의 분류상 문항 수는 줄었습니다. 다만 올해 18번처럼 유리함수 안에서 합성과 역함수를 활용하므로 단원명만 보고 관련 개념을 제외해서는 안 됩니다.

작년의 어려움 문항은 14~18번이었고, 올해는 10~15번과 18번입니다. 어려움 구간이 앞당겨진 만큼 끝부분만 집중하는 방식보다 전체를 훑고 풀 순서를 정하는 연습이 유용합니다. 다음 시험 준비에서도 경우의 수 기본형을 확보한 뒤 조건 분류와 함수의 대칭 관계를 연결해 보세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 풀이에서 필요한 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 중간 계산을 마쳐도 원래 조건으로 돌아와 확인할 일이 남는다는 것입니다. 경우의 중복, 두 그래프의 만남, 꼭짓점의 구별처럼 마지막 검토 항목을 미리 적어 두세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

기본 구조가 보이는 문항을 먼저 풀고, 출발점이 잡히지 않는 문항에는 표시를 남기세요. 10~15번에서 연속해서 막히면 16·17번을 먼저 확인할 수 있습니다. 연습에서 각 구간의 풀이 시간을 기록하고 자신의 풀 순서를 정해 보세요.

경우의 수에서는 대상의 구별 여부, 순서의 의미, 경계 포함 여부를 짧게 표시하세요. 3번은 자연수 범위, 9번은 묶음 내부 배열, 10번은 반복되는 눈, 14번은 변의 대소와 삼각형 성립 조건이 핵심입니다. 경우를 나눈 기준을 적으면 검산할 때 전체 계산을 반복하지 않고도 누락을 찾아볼 수 있습니다.

함수에서는 식의 변형 전후로 정의되는 범위가 유지되는지 확인하세요. 7·12번은 정의역과 치역, 11번은 입력과 함수값의 자연수 조건을 구별해야 합니다. 16번은 인수분해와 통분의 근거를 남기고, 15·18번은 얻은 후보가 원래 도형 조건과 유리함수의 조건을 만족하는지 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합, 합의 법칙과 곱의 법칙을 구별하세요. 선택인지 배열인지 먼저 말로 설명한 뒤 식을 세워 보세요(2·3·4·6번 대비).
2. 조건을 지수 범위나 묶음으로 바꾸는 연습을 하세요. 약수의 조건과 이웃하는 배열에서 선택 단계가 빠지지 않는지 확인하세요(8·9번 대비).
3. 경우 분류표를 작성하는 연습으로 확장하세요. 주사위 눈의 반복 형태, 점 사이 거리, 가장 긴 변을 기준으로 겹치지 않는 경우를 만드세요(10·13·14번 대비).
4. 유리식의 인수분해와 통분, 그래프의 표준적인 형태를 복습하세요. 분모의 제외점과 점근선을 함께 적어 보세요(5·16번 대비).
5. 무리함수의 시작점·정의역·치역을 그려 보고 역함수의 범위까지 연결하세요. 선분과 만나는 문제에서는 경계에서의 위치를 확인하세요(1·7·12번 대비).
6. 합성 조건을 안쪽 함수값의 조건으로 바꾸고 도형 관계를 좌표로 표현하세요. 정수 조건, 대칭 관계, 길이의 부호를 마지막에 재검토하세요(11·15·18번 대비).
7. 함수의 개수를 순열조합과 연결해 복습하세요. 함숫값이 같은 경우와 다른 경우를 나누고 각 경우의 순서가 이미 정해져 있는지 설명하세요(17번 대비).