돌마고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

돌마고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 무리함수, 함수, 집합, 절대부등식입니다. 경우의 수와 함수가 중심이며, 집합의 조건을 경우의 수나 식의 값의 범위와 연결하는 문항도 포함되어 있습니다.

초반에는 주사위의 경우의 수, 순열과 조합의 기호, 꼭짓점 선택, 제한된 자리의 배열처럼 기본 원리를 직접 적용합니다. 이어 유리함수의 대칭과 점근선, 무리함수의 역함수와 정의역을 다룹니다. 공식 암기와 함께 그 공식을 쓸 수 있는 조건을 설명할 수 있어야 합니다.

후반에는 조건들이 서로 영향을 주는 구조가 두드러집니다. 좌석 배치와 숫자 카드 배열은 한 선택이 다음 선택을 제한하고, 합성함수의 최솟값은 입력 구간이 어떤 출력 구간으로 옮겨지는지부터 파악해야 합니다. 서술·단답형에서는 계산 결과뿐 아니라 가능한 범위를 정당화하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번에 모여 있습니다. 경우의 수의 기본 계산을 안정적으로 마치고, 6번에서 유리화 뒤 이웃한 항이 소거되는 구조를 알아보는 것이 출발점입니다. 식이 길어 보인다고 모든 항을 따로 계산하면 기본 구간에서도 시간이 늘어날 수 있습니다.

자동 분류 기준 보통 문항에서는 여러 성질을 함께 확인합니다. 7·9번은 그래프의 성질을 개별적으로 판단해야 하고, 14번은 유리함수 그래프에서 얻은 정보를 무리함수의 역함수에 연결합니다. 단원 이름이 익숙해도 실제로 요구하는 대상이 원래 함수인지 역함수인지 먼저 구별하세요.

자동 분류 기준 어려움은 11·12번과 후반에 나뉘어 있습니다. 따라서 11번에서 풀이가 막혀도 뒤의 13~15번을 확인하는 운영이 유효합니다. 19번은 자동 분류 기준 보통인 서술·단답형이므로 객관식 끝부분을 모두 해결한 뒤에야 접근하겠다는 순서는 피하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 기본 계산부터 제한 조건이 겹치는 배열까지 폭이 넓습니다. 1~5번에서 합과 곱의 법칙, 순열과 조합의 구별을 확인한 뒤 13번의 색칠, 16번의 좌석 배치, 18번의 숫자 배열로 이어집니다. 공식별 문제집을 푸는 것에 더해 무엇을 기준으로 경우를 나눌지 직접 적어 보는 연습이 필요합니다.

유리함수는 점근선과 대칭을 바탕으로 역함수, 직선과의 교점, 합성함수의 최솟값까지 연결됩니다. 무리함수도 근호 계산에 그치지 않고 역함수의 정의역이나 직선과 만나는 조건을 묻습니다. 그래프에서 읽은 범위를 식을 변형한 뒤에도 유지하는 것이 공통 과제입니다.

함수로 분류된 11번은 일대일대응의 개수를 세고, 집합의 15번은 원소를 선택하는 경우의 수를 다룹니다. 단원 분류와 실제 필요한 풀이 도구가 완전히 분리되지는 않습니다. 절대부등식의 20번 역시 식의 값이 가능한 조건을 양수인 해의 존재와 연결하므로 부등식과 방정식의 관점을 함께 준비하세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리의 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산에 앞서 가능한 배치나 허용 구간을 정해야 하므로, 풀이 첫 줄에 분류 기준을 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 순회에서는 초반 기본형과 접근이 보이는 문항을 먼저 처리하세요. 11·12번에서 대응 관계나 도형 해석이 길어지면 표시를 남기고 13~15번을 확인하는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다, 조건 정리가 멈춘 문항을 언제 넘길지 기준을 세워 연습하세요.

서술·단답형을 살필 시간을 따로 확보하세요. 19번은 근호의 정의역과 직선의 기울기에 따른 경우 구분을 먼저 쓰고, 20번은 분모의 양수성과 치환 변수의 범위를 먼저 적어 두면 검토 방향이 분명해집니다. 연습에서는 계산을 시작하기까지 걸린 시간과 계산 이후 조건을 검사한 시간을 나누어 기록해 보세요.

마지막 점검은 계산을 모두 반복하기보다 빠뜨리기 쉬운 조건에 집중하세요. 13번은 인접의 의미, 16번은 앞뒤 순서, 18번은 첫 자리와 중복을 확인해야 합니다. 8·14번에서는 역함수의 정의역을, 19·20번에서는 변형한 식의 해가 원래 허용 범위에 들어가는지를 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합과 곱의 법칙, 순열과 조합의 선택 기준을 먼저 복습하세요. 순서를 바꾸면 다른 결과인지 말로 설명한 뒤 식을 세워 보세요(1·2·3·4·5번 대비).
2. 조건이 있는 경우의 수는 분류표로 연습하세요. 색칠의 인접 관계, 학급별 자리 모양, 같은 숫자의 사용 장수를 기준으로 경우가 겹치지 않게 나누세요(13·16·18번 대비).
3. 유리함수는 표준형과 간단한 그래프를 함께 쓰세요. 점근선, 대칭 중심, 지나는 점을 연결하고 역함수에서는 입력과 출력의 범위를 교환하세요(7·8·10번 대비).
4. 무리식의 유리화와 무리함수의 정의역을 정리하세요. 역함수를 구한 뒤 제한된 구간에서 증감을 판단하고, 직선과의 교점에서는 제곱 전 부호를 확인하세요(6·9·14·19번 대비).
5. 서로 다른 표현으로 조건을 옮기는 연습을 하세요. 대응은 화살표로, 교점은 방정식으로, 합집합은 겹치는 부분과 겹치지 않는 부분으로 표현하세요(11·12·15번 대비).
6. 범위 문제는 필요한 조건과 실제 가능한 조건을 함께 검사하세요. 합성함수에서는 출력 구간과 축을 비교하고, 양수 치환에서는 해의 부호와 경계값을 확인하세요(17·20번 대비).