송림고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

송림고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

송림고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 순열조합, 무리함수, 유리함수, 함수, 절대부등식, 합성함수와역함수입니다. 그래프의 기본 성질과 경우의 수를 함께 다루며, 도형이나 합성함수 조건을 다른 단원의 개념으로 연결하는 문항도 있습니다.

초반에는 합의 법칙과 곱의 법칙, 그래프의 시작점과 점근선, 평행이동 같은 기본 개념을 확인합니다. 후반에는 같은 개념을 여러 조건 안에서 사용해야 합니다. 유리함수와 역함수의 관계를 이동과 연결하거나, 함수의 치역 조건을 경우의 수 문제로 옮기는 식으로 풀이 단계가 늘어납니다.

따라서 공식을 아는 것과 적용할 대상을 정하는 것을 구분해 공부해야 합니다. 경우의 수는 무엇을 먼저 정할지, 그래프는 어느 지점에서 성질이 바뀌는지를 먼저 표시하세요. 서술·단답형에서도 분류 기준과 제외 이유가 드러나도록 풀이를 구성하는 것이 중요합니다.

난이도 분포 — 후반에 집중된 조건 분류

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번과 18번입니다. 기본 순열과 경우의 수, 무리함수의 최댓값·최솟값과 그래프 이동, 유리함수의 점근선을 다룹니다. 이 구간에서는 긴 계산보다 조건을 정확히 읽는 것이 중요하며, 역함수의 뜻으로 바로 접근할 수 있는 18번도 함께 확보할 수 있습니다.

보통인 7·8·9번은 개념 사이의 연결을 요구합니다. 순열·조합 기호를 근과 계수의 관계로 해석하고, 유리함수의 대칭성과 정의역·치역을 확인하며, 집합의 조건을 겹치지 않는 조합으로 나누어야 합니다. 기호의 뜻을 모호하게 기억하면 초반보다 시간이 길어질 수 있습니다.

어려움 문항이 이어지는 후반에는 그래프와 경우의 수 문제가 번갈아 나옵니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 앞 문제에서 오래 막혔을 때 다음 문제를 확인할 수 있도록, 풀이 가능성을 빠르게 판단하는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 유리·무리함수 중심

가장 많은 순열조합은 기본 법칙부터 도형의 개수, 배치, 색칠, 포함과 배제까지 폭넓게 다룹니다. 11번은 대칭적인 도형에서 중복되는 대상을 찾아야 하고, 12번은 빈자리 위치에 따라 배치 조건이 달라집니다. 같은 단원으로 묶여도 계산을 시작하는 분류 기준은 서로 다릅니다.

무리함수는 3·5·6·18번에서 구간, 시작점, 평행이동, 역함수의 정의를 확인한 뒤 22번에서 유리함수와의 교점 해석으로 이어집니다. 유리함수는 점근선과 대칭 중심을 바탕으로 역함수, 절댓값, 교점 개수를 연결합니다. 그래프의 개형을 조건에 맞게 다시 그리는 연습이 필요합니다.

함수로 분류된 15·21번은 모두 함수의 개수를 다루므로 경우의 수 학습과 연결해 보세요. 단원 표의 비중만 보고 그래프와 경우의 수를 완전히 나누어 공부하면 이 연결을 놓치기 쉽습니다. 13번은 길이를 양수인 식으로 바꾸어 부등식을 적용하고, 19번은 역함수와 범위 조건을 함께 검토합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 전에 경우를 나누는 기준이 필요합니다. 치역, 허용 범위, 그래프의 경계를 먼저 적고 각 경우의 풀이가 원래 조건을 만족하는지 되돌아보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형에서 실수를 줄이고, 후반을 훑어 접근 가능한 문항을 찾으세요. 10번 이후에 막혔다고 서술·단답형 전체를 미룰 필요는 없습니다. 18번은 역함수의 정의를 원래 함수의 관계로 바꾸어 시작할 수 있으므로, 형식보다 풀이의 출발점이 보이는지를 기준으로 판단하세요.

경우의 수 문항에서는 계산을 시작하기 전에 분류표를 적어 두세요. 11번은 같은 도형의 중복, 12번은 빈자리와 성별 배치, 20번은 이웃하는 사건들의 겹침, 21번은 치역에서 빠지는 원소가 검토 대상입니다. 분류가 정해지지 않은 채 순열·조합식을 늘어놓으면 나중에 계산을 고쳐도 누락을 찾기 어렵습니다.

함수 문항을 검토할 때는 근호 안의 조건과 분모 조건을 먼저 확인하세요. 14·17번은 절댓값의 부호별 구간과 경계, 19번은 역함수를 정하는 정의역, 22번은 그래프 시작점의 위치를 점검해야 합니다. 연습에서는 조건 해석과 계산에 쓰는 시간을 구분해 기록하고, 서술·단답형의 근거를 정리할 시간도 남기세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 합의 법칙과 곱의 법칙부터 복습하세요. 동시에 일어날 수 없는 경우를 더하는지, 이어지는 선택을 곱하는지 말로 설명한 뒤 순열·조합 기호를 연결하세요(1·2·7·9번 대비).
2. 함수의 기본 그래프를 직접 그리세요. 무리함수는 시작점과 증감 방향, 유리함수는 점근선과 대칭 중심을 표시한 뒤 평행이동과 구간의 끝점을 확인하세요(3·4·5·6·8번 대비).
3. 역함수는 입력과 출력의 교환부터 정리하세요. 제한된 정의역이 역함수의 가지를 결정하는 이유와, 구간 전체에서 부등식이 성립하는 조건을 구별하세요(10·18·19번 대비).
4. 도형과 배치의 경우의 수에서는 분류 기준부터 적으세요. 대칭으로 생기는 중복, 빈자리의 위치, 원과 직선의 위치 관계가 경우를 어떻게 바꾸는지 확인하세요(11·12·16번 대비).
5. 함수의 개수와 포함과 배제를 연결해 공부하세요. 실제 치역을 먼저 정하는 방법과 빠진 원소나 이웃하는 사건을 제외하는 방법을 구분하고, 겹친 경우를 다시 보정하세요(15·20·21번 대비).
6. 그래프를 이용한 고난도 조건 해석을 마무리하세요. 길이의 양수 조건, 절댓값의 경계, 두 그래프의 교점 변화가 생기는 지점을 스케치와 분류표로 정리하세요(13·14·17·22번 대비).