돌마고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

돌마고 고1 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있는 학교입니다. 이 회차는 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 절대부등식에서 출제됐습니다. 객관식과 서술·단답형을 합한 20문항을 통해 개념의 뜻부터 여러 조건을 함께 적용하는 단계까지 확인할 수 있습니다.

초반에는 함수인 그래프 판별, 같은 집합의 의미, 명제의 역과 대우, 대응 그림 해석처럼 기준을 알면 방향을 바로 잡을 수 있는 내용이 나옵니다. 다만 개념을 말로만 외웠다면 여집합이나 역함수처럼 방향이 바뀌는 지점에서 실수할 수 있습니다.

후반에는 집합의 원소를 영역별로 분류하거나 일대일대응의 제약을 이용해 가능한 경우를 줄이는 문제가 이어집니다. 서술·단답형에서도 증가·감소와 매개변수의 부호를 구분해야 하므로, 식을 세운 이유와 경우를 나눈 기준을 설명하는 공부가 필요합니다.

난이도 분포 — 앞부분의 기본형과 후반의 조건 분류

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~8번과 11번은 기본 정의와 성질을 적용하는 구간입니다. 계산을 서두르기보다 합성 순서, 부정 기호, 조사 대상의 여집합을 정확히 읽는 편이 재계산을 줄여 줍니다. 특히 11번은 역함수의 입력과 출력을 바꾸는 원리를 확인하기 좋습니다.

보통으로 분류된 9·10·13·14·17·19번은 익숙한 개념에 해석 단계를 더합니다. 산술평균과 기하평균의 적용 조건, 명제의 포함 관계, 합성함수의 치환, 구간별 함수의 적용 범위를 확인해야 하므로 단순 대입만으로 밀어붙이기 어렵습니다.

어려움으로 분류된 12·15·16·18·20번은 여러 조건을 동시에 유지해야 합니다. 후반 번호가 모두 같은 난이도는 아니므로 막힌 문항을 표시하고 다른 문항으로 이동할 수 있어야 합니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 개인별 체감 난이도와는 차이가 있을 수 있습니다.

출제 단원 — 집합과 합성함수와역함수가 중심

집합은 연산의 기본 성질에서 출발해 조건제시법과 원소 개수, 부분집합 선택으로 확장됩니다. 2·5·7번을 풀었다고 단원 전체가 완성된 것은 아닙니다. 12·16·18번에서는 원소의 소속이나 정수 조건을 먼저 정리하고, 그 제약 안에서 선택 가능한 경우를 판단해야 합니다.

합성함수와역함수는 대응 그림, 역함수 성질의 정리, 식의 치환, 구간별 함수 해석까지 폭이 넓습니다. 15번의 유한집합 위 일대일대응과 17번의 구간별 합성은 접근법이 다르므로, 역함수 공식 하나로 모든 유형을 처리하려 하지 마세요.

명제는 역·대우의 기본형에서 필요·충분조건과 매개변수 범위까지 이어집니다. 함수 단원의 19번도 정의역과 공역을 정확히 다뤄야 한다는 점에서 연결됩니다. 절대부등식은 9번에 나오며, 부등식 적용에 앞서 양수 조건과 등호 성립 가능성을 확인하는 습관이 중요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 총 문항은 같고 어려움의 시작 위치가 앞당겨졌습니다

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성은 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움과 어려움이 함께 늘고 보통은 줄었습니다. 따라서 올해를 전체적으로 단순히 더 쉽거나 어렵다고 요약하기보다는 기본 문항과 복합 조건 문항의 차이가 더 뚜렷해졌다고 읽는 편이 적절합니다.

작년에는 명제가 가장 많았지만 올해는 집합과 합성함수와역함수가 공동으로 가장 많습니다. 집합은 작년 5문항에서 올해 6문항, 합성함수와역함수는 작년 3문항에서 올해 6문항으로 늘었습니다. 반면 명제는 작년 8문항에서 올해 5문항으로 줄어, 준비 시간을 명제에만 집중하기 어렵습니다.

작년의 어려움 문항은 16·17·18번이었고 올해는 12번부터 등장하며 20번 서술·단답형까지 이어집니다. 작년 서술·단답형은 모두 보통으로 분류됐지만 올해 마지막 문항은 어려움입니다. 다음 시험을 준비할 때는 후반 객관식 연습과 함께 매개변수의 경우 분류를 글로 완성하는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 순위가 확인된 것이 아니라 제공된 개념과 해설을 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 하나씩 처리한 뒤 앞에서 얻은 제약을 계속 유지해야 합니다. 풀이 중간에 대응표나 영역표를 남겨 두면 모순과 누락을 점검하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1~8번과 11번의 기본형에서 풀이를 간결하게 마치는 연습을 하세요. 처음부터 답을 빨리 고르기보다 정의를 짧게 적용하고 검산을 끝내는 방식이 좋습니다. 12번에서 경우 정리가 길어지면 현재까지 얻은 조건을 표시하고, 이어지는 보통 문항을 먼저 해결하는 운영도 연습해 보세요.

객관식 끝까지 마친 다음에야 서술·단답형을 읽는 방식은 피하는 편이 좋습니다. 19번은 증가·감소에 따른 양 끝점 대응을, 20번은 포함 관계와 부호에 따른 분류를 적어야 합니다. 답안 작성에 필요한 여유를 확보하고, 완성 가능한 문항의 논리부터 정리하세요. 실제 시험 시간 자료가 없으므로 모의 풀이에서 자신의 소요 시간을 기록해 조정하는 것이 적절합니다.

마지막 점검에서는 9번의 양수와 등호 성립 조건, 13번의 충분조건 방향, 17번의 구간 경계, 19번의 감소하는 경우, 20번의 영인 계수와 열린 경계를 확인하세요. 집합 문제에서는 전체집합 바깥의 수를 원소로 세지 않았는지도 보세요. 계산 결과를 재확인하는 것만큼 원래 조건으로 돌아가는 검토가 중요합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수와 대응의 정의를 먼저 정리하세요. 그래프의 세로선 검사와 대응 그림 읽기를 짧게 반복하고, 정의역·공역·치역을 구분하세요(1·4번 대비).
2. 집합의 기본 연산을 벤 다이어그램과 연결하세요. 같은 집합, 분배법칙, 여집합으로 인원 계산을 익힌 뒤 필수 원소를 정하는 문제로 확장하세요(2·5·7·12번 대비).
3. 명제의 역·대우와 필요·충분조건을 포함 관계로 설명하세요. 반례로 거짓을 확인하는 연습과 판별식 적용 조건의 점검도 함께 하세요(3·6·10·13번 대비).
4. 역함수의 합성 순서와 치환을 익히세요. 대응표를 거꾸로 읽는 연습에서 시작해 식을 정리하고, 합성식의 중간 함숫값을 새 변수로 두는 문제까지 풀어 보세요(4·8·11·14·15번 대비).
5. 조건을 나누는 표를 작성하세요. 정수·약수 조건과 원소의 겹치는 성질을 구분하고, 구간별 함수에서는 계산한 후보를 해당 구간에 다시 대입해 확인하세요(16·17·18번 대비).
6. 등호 성립과 서술 논리를 마무리하세요. 최솟값의 달성 가능성을 확인하고, 일대일대응의 증가·감소와 매개변수 부호 분류를 생략 없이 작성하세요(9·19·20번 대비).