돌마고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

돌마고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

돌마고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 무리함수, 집합, 함수입니다. 순열과 조합의 기본 계산부터 그래프의 이동과 역함수, 집합과 함수의 개수 세기까지 연결됩니다.

초반에는 기호 계산과 합의 법칙, 근호의 실수 조건, 점근선 같은 기본 개념을 확인합니다. 중반부터는 여러 조건을 동시에 적용해야 합니다. 그래프를 보고 매개변수를 정한 뒤 다른 함수의 개형을 판단하거나, 배치 조건을 먼저 해석한 뒤 순열로 세는 방식입니다.

후반은 계산량보다 분류 기준을 잡는 데 시간이 걸릴 수 있습니다. 유리함수와 다른 그래프를 함께 보거나 집합의 포함 관계에 홀짝 조건을 더하는 문제가 등장합니다. 따라서 공식 적용 연습에 더해, 풀이 전에 구간이나 경우를 짧게 적는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 중후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~7번에 모여 있습니다. 다만 3번의 분모에 있는 근호 조건과 6번의 통분 부호는 별도로 확인해야 합니다. 익숙한 계산이라고 조건을 생략하면 초반부터 실수가 생길 수 있습니다.

보통 문항에서는 기본 개념을 상황에 맞게 조합합니다. 8번은 양 끝 조건을 반영한 틈 배치, 10번은 반드시 포함하거나 제외할 대상을 처리한 조합입니다. 12번은 유리함수 그래프의 정보를 무리함수로 옮겨야 하며, 19번은 최댓값과 최솟값이 생기는 위치를 근거와 함께 설명해야 합니다.

어려움 문항은 11번 이후에 집중되지만 난도가 번호순으로 계속 올라가지는 않습니다. 11번에서 막히면 12번을, 후반 경우의 수에서 시간이 길어지면 19번을 확인하세요. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합과 유리함수가 중심

순열조합은 기호 계산부터 제한 조건이 있는 선택과 배치로 확장됩니다. 14번에서는 도형의 넓이 조건을 점의 배치 조건으로 바꿔야 하며, 20번에서는 자릿수와 홀짝 조건이 겹칩니다. 같은 경우의 수라도 무엇을 먼저 고정할지에 따라 풀이가 달라집니다.

유리함수는 점근선, 식의 복원, 역함수, 사분면, 구간별 함수까지 폭이 넓습니다. 표의 단원은 자료의 분류이며, 12번처럼 무리함수와 연결된 문제도 포함됩니다. 유리함수를 기본형으로 정리한 뒤 점근선과 그래프 방향을 설명하는 연습이 공통 기반입니다.

집합과 함수는 출제 수가 적어도 모두 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 17번은 원소별 소속 상태와 원소 합의 홀짝을, 18번은 정해진 치역의 원소가 실제로 나타나는지를 따집니다. 단원 비중만 보고 이 부분을 생략하면 후반 대응 범위가 좁아집니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 후반 구성

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움과 어려움이 늘고 보통이 줄었습니다. 서술·단답형은 줄었지만 어려움 문항은 늘었으므로, 서술형 수만으로 전체 부담이 낮아졌다고 판단하기는 어렵습니다.

순열조합은 같은 비중을 유지했고, 유리함수는 작년 5문항에서 올해 7문항으로 늘었습니다. 무리함수는 작년 4문항에서 올해 3문항이며 집합과 함수는 각각 같은 문항 수입니다. 올해는 유리함수의 이동·역함수·구간 해석을 묶어 연습할 필요가 있습니다.

어려움 문항은 작년 11·12·16·17·18·20번에서 올해 11·13·14·15·16·17·18·20번으로 배치가 달라졌습니다. 특히 올해는 13~18번에 이어지므로, 초반을 정확하게 마치고 후반의 분류 작업에 시간을 남기는 훈련이 필요합니다. 다음 시험의 출제를 단정하지 말고 이번에 확인된 조건 처리 방식을 복습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표에 따른 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 경우를 나누는 기준을 먼저 세워야 합니다. 계산 전 분류 기준을 적고, 계산 후에는 누락과 중복을 그 기준에 따라 점검하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~7번의 기본형을 정확하게 처리하고 8~10번의 조건을 정리하세요. 11번에서 그래프 해석이 길어지면 표시하고 12번으로 넘어가는 운영을 연습하세요. 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위 배분보다, 막힌 문제에서 잠시 벗어나는 기준을 정하는 편이 좋습니다.

13~18번은 연속해서 자동 분류 기준 어려움에 해당합니다. 이 구간을 모두 마친 뒤 19번을 보려고 하면 서술 시간이 부족해질 수 있습니다. 19번은 그래프의 감소 성질과 끝점 대응을 먼저 적어 풀이 뼈대를 확보하고, 계산 뒤 매개변수 조건을 확인하세요.

검토할 때는 3번의 분모 조건, 8번의 양 끝 제한, 10번의 필수 포함 대상을 먼저 보세요. 그래프 문제에서는 정의역 경계와 이동 방향을, 17·18·20번에서는 공집합·치역 원소의 실제 등장·선행 영의 제한을 확인하세요. 긴 계산을 반복하기보다 누락되기 쉬운 조건을 문항 옆에 짧게 표시해 두세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 합·곱의 법칙을 복습하세요. 순서가 중요한지 먼저 말로 설명한 뒤 식을 세우세요(1·2·4·7번 대비).
2. 필수 포함과 제외 조건, 이웃하지 않는 배치를 연습하세요. 고정할 대상과 사용 가능한 틈을 먼저 표시하세요(8·10번 대비).
3. 유리함수의 기본형과 무리함수의 끝점을 연결하세요. 정의역·치역·점근선·이동 방향을 스케치에 함께 적으세요(3·5·6·9·12번 대비).
4. 역함수와 평행이동, 사분면 조건을 묶어 연습하세요. 식을 길게 풀기 전에 대칭점과 구간별 부호를 확인하세요(11·13·15번 대비).
5. 구간별 함수의 값의 범위와 최댓값·최솟값을 정리하세요. 경계와 축의 위치를 설명하는 문장을 써 보세요(16·19번 대비).
6. 기하 조건과 집합·함수의 개수 세기로 확장하세요. 경우 분류와 포함배제를 적용한 뒤 중복·누락을 검사하세요(14·17·18·20번 대비).