언남고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

언남고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험 자료에서 확인되는 출제 범위는 집합, 명제, 도형의이동, 원의방정식, 절대부등식입니다. 원과 직선의 관계를 다루는 좌표도형부터 진리집합과 증명까지 함께 준비해야 하는 구성입니다.

집합은 원소와 포함 관계의 기본 개념에서 시작해 부분집합의 개수, 배수의 개수, 좌표평면 위 교점, 원소의 합을 이용한 최댓값으로 확장됩니다. 집합 연산 공식을 외우는 데서 그치지 말고, 각 조건이 실제로 어떤 원소나 점을 남기는지 설명할 수 있어야 합니다.

명제와 부등식에서는 판단의 근거를 구별하는 능력이 필요합니다. 항상 성립한다는 주장은 일반적인 논증으로 확인하고, 성립하지 않는 주장은 반례로 점검하세요. 좌표도형에서는 접선의 수직 관계나 대칭의 성질을 먼저 찾으면 불필요한 연립 계산을 줄일 수 있습니다.

난이도 분포 — 보통 중심이며 어려움은 17번

쉬움 문항은 1·2·3·19·23번입니다. 객관식 앞부분의 개념 확인뿐 아니라 서술·단답형의 집합 연산과 평균의 관계도 포함됩니다. 다만 23번은 성립 이유를 쓰는 문항이므로 쉬움이라는 분류를 보고 서술 준비를 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항은 4~16번, 18번, 20~22번에 분포합니다. 평행이동을 접선 조건으로 연결하거나 집합의 조건을 경우의 수로 바꾸는 등 풀이의 출발점을 선택하는 과정이 반복됩니다. 계산을 시작하기 전에 조건을 그림이나 포함 관계로 정리하는 습관이 도움이 됩니다.

어려움으로 분류된 17번은 원과 직선의 교점, 수직인 직선, 삼각형의 넓이 비를 연결합니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수 없습니다. 보통 문항에서도 조건 누락에 따른 실수가 생길 수 있으므로 전체적인 정확도를 함께 관리하세요.

출제 단원 — 집합의 비중과 도형·논증의 연결

집합은 1·6·7·12·13·14·19·22번입니다. 같은 단원 안에서도 원소를 직접 판별하는 문제와 원소의 개수를 세는 문제, 원소의 합을 최적화하는 문제의 접근이 다릅니다. 특히 13번은 집합의 원소가 좌표평면 위의 점이므로 교집합을 도형의 공통점으로 읽어야 합니다.

명제는 2·8·9·11·20번으로, 명제와 조건의 구별부터 진리집합, 귀류법, 부정·역·대우까지 이어집니다. 도형의이동은 4·5·15·21번이며 점이나 중심을 옮기는 기본형과 거리의 최소, 대칭축의 결정을 함께 다룹니다.

원의방정식은 3·16·17번에 배치되어 있고 자동 분류 기준 어려움인 17번이 포함됩니다. 절대부등식은 10·18·23번으로 항상 성립하는 이유와 최솟값의 달성 조건이 중요합니다. 단원 표의 분류와 별개로 22번에서도 최댓값을 다루므로 집합과 부등식의 학습을 연결해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

여기서 분석상 고난도 문항은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건을 연결하고 결과의 실현 가능성을 검토할 필요가 큰 문항을 뜻합니다. 자동 분류 기준 어려움은 17번뿐이며 15·22번의 분류는 보통입니다. 이 문항들의 공통점은 계산으로 얻은 후보나 하한·상한을 원래 조건에 되돌려 확인해야 한다는 점입니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념과 출발점이 보이는 문제를 확보하세요. 15~17번에서 도형 관계를 찾느라 시간이 길어지면 표시하고 뒤의 서술·단답형도 확인하는 편이 좋습니다. 19·23번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 번호가 뒤라는 이유만으로 마지막까지 미루지 마세요.

서술·단답형에서는 핵심 근거를 먼저 적고 계산을 이어 가세요. 20번은 명제의 부정에서 수량 표현과 부등호를 함께 바꾸고 역과 대우의 방향을 구별해야 합니다. 21번은 대칭축이 수직이등분선이라는 근거를, 22번은 합의 관계와 최댓값의 달성 가능성을 남기는 연습이 필요합니다.

마지막 검토는 조건이 바뀌는 지점에 집중하세요. 9번의 구간 끝점 포함 여부, 14번의 부분집합 크기 제한, 15번의 점의 순서와 서로 다름이 대표적입니다. 18번은 양수 조건과 등호 성립 조건을 함께 확인하고, 23번은 결론을 적는 데서 끝내지 말고 제곱식의 성질로 성립 이유를 설명하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 원소 관계와 포함 관계를 구별하고 벤다이어그램으로 연산 결과를 표시하세요. 차집합과 여집합을 말로 설명한 뒤 기호로 옮기는 연습부터 시작하세요(1·6·19번 대비).
2. 부분집합 문제는 반드시 포함할 원소, 제외할 원소, 자유롭게 고를 원소를 나누세요. 배수의 개수에서는 중복 제거를, 원소의 곱에서는 소인수 조건과 크기 제한을 점검하세요(7·12·14번 대비).
3. 명제는 진리집합의 포함·서로소 관계로 나타내고 수직선에 그려 보세요. 부정·역·대우를 직접 쓰고, 귀류법의 가정과 모순을 문장으로 설명하세요(2·8·9·11·20번 대비).
4. 평행이동에서는 이동량과 꼭짓점·중심의 변화를 먼저 적으세요. 대칭이동은 중점과 수직 관계로 확인하고, 거리 최소 문제는 펼친 경로의 순서를 검토하세요(4·5·15·21번 대비).
5. 원의 접선에서는 중심과 직선 사이의 거리, 접점에서의 수직 관계를 그림에 표시하세요. 접선 길이와 삼각형 넓이를 구한 뒤 넓이 비를 매개변수로 표현하는 유형까지 확장하세요(3·16·17번 대비).
6. 부등식은 제곱식으로 성립 이유를 보이는 기본형에서 시작하세요. 제약 조건을 활용한 최적화에서는 등호 조건과 실제 달성 가능한 경우를 함께 확인하세요(10·18·22·23번 대비).