언남고등학교
2024년 1학년 2학기 중간고사

언남고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료의 출제 단원은 집합, 명제, 도형의이동, 원의방정식, 절대부등식입니다. 집합과 명제의 논리적 해석에 좌표기하와 부등식 활용이 결합된 시험입니다.

초반에는 원소와 부분집합의 구별, 조건의 부정, 점의 이동처럼 기본 정의를 확인합니다. 중반에는 복잡한 집합식을 포함 관계로 바꾸거나 명제의 조건을 진리집합으로 나타내야 합니다. 기호를 외우는 데서 그치지 않고 그 기호가 나타내는 원소의 범위를 설명할 수 있어야 합니다.

후반에는 접선 조건을 거리로 바꾸고, 이동하는 도형에서 최솟값이 실제로 실현되는지 검토합니다. 서술·단답형도 모두 같은 성격은 아닙니다. 접선과 부등식, 집합의 인원수, 대칭이동, 부등식 증명을 각각 다루므로 시험 전체를 훑어 접근 가능한 문항부터 확보하세요.

난이도 분포 — 기본 개념에서 후반의 기하 조건으로

자동 분류 기준 쉬움은 1~6번과 22번입니다. 앞부분은 정의와 이동 규칙을 직접 적용하는 성격이지만, 5번은 반드시 골라야 할 원소와 자유롭게 고를 원소를 구별해야 합니다. 22번은 증명 문항이므로 식의 변형뿐 아니라 인수의 부호를 설명하는 과정까지 필요합니다.

보통 구간인 7~16번에서는 조건을 바르게 번역하는 일이 중요합니다. 명제에서는 진리집합의 포함 방향을, 집합에서는 여집합과 차집합의 의미를 확인해야 합니다. 19·20번도 보통으로 분류되어 있지만, 각각 엄격한 부등호와 인원수의 가능 범위를 놓치면 결론이 달라질 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움인 17·18·21번은 하나의 계산보다 여러 기하 조건을 연결하는 데 부담이 있습니다. 특히 21번은 대칭이동으로 경로를 펴는 단계와 원의 중심이 움직이는 범위를 보는 단계를 연결해야 합니다. 이 분포는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라 학습 순서를 정하는 참고 기준입니다.

출제 단원 — 집합의 비중과 기하 문항의 조건 연결

집합은 8문항으로 가장 많습니다. 원소와 부분집합의 구별에서 출발해 조건부 부분집합의 개수, 집합식의 정리, 서로소인 자연수의 개수, 선호조사의 최댓값까지 이어집니다. 기본 공식만 반복하기보다 집합식을 말로 풀고 벤다이어그램의 영역으로 옮기는 연습이 필요합니다.

명제는 부정, 역과 대우, 충분조건과 필요조건을 다룹니다. 9번에서는 이차함수의 그래프와 판별식을 논리 조건으로 읽어야 합니다. 12번처럼 부등식의 해집합을 구간으로 바꾼 뒤 포함 관계를 확인하는 유형까지 준비해야 개념과 계산이 연결됩니다.

도형의이동은 점의 좌표 계산에서 원의 중심 이동과 거리 최소화로 확장됩니다. 원의방정식 문항은 접함과 교점 개수를 거리로 표현하는 데 초점이 있습니다. 절대부등식의 13번은 접선으로 만든 넓이에 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하므로, 표의 단원명과 별개로 기하와 부등식을 연결해 복습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 집합의 비중은 유지되고 어려움 문항은 감소

작년과 올해의 과목은 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 6문항에서 올해 3문항으로 줄었고, 보통은 9문항에서 12문항으로 늘었습니다. 작년에는 14~17번과 서술·단답형 20·21번이 어려움이었지만, 올해는 17·18·21번에 모여 있습니다. 이 변화는 분류 구성의 차이로 이해해야 합니다.

집합은 작년 7문항에서 올해 8문항으로 늘어 가장 많은 단원이 되었습니다. 원의방정식은 4문항에서 3문항으로, 도형의이동은 3문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 작년에는 직선의방정식이 7문항이었고 올해 단원표에는 명제와 절대부등식이 들어 있으므로, 같은 과목이라도 범위를 확인하며 비교해야 합니다.

대비할 때는 공통으로 비중이 큰 집합을 먼저 다지고, 올해의 명제 조건 해석과 기하 문항을 함께 준비하세요. 올해 어려움 문항이 줄었다는 사실만으로 후반 학습을 생략하기는 어렵습니다. 접선의 거리 조건과 대칭이동을 이용한 최소화는 별도로 풀이 과정을 정리할 필요가 있습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 그림의 성질을 거리 조건으로 바꾸고 후보의 성립 여부를 검토해야 합니다. 계산 전에 사용할 기하 성질을 한 문장으로 적어 보면 출발점을 잡기 좋습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 정의와 좌표 규칙을 정확하게 처리하고, 중반에는 조건 변환이 보이는 문제부터 진행하세요. 17·18번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 서술·단답형을 확인하는 편이 좋습니다. 마지막의 22번도 인수분해와 부호 설명으로 접근할 수 있으므로 번호 때문에 남겨 두지 마세요.

집합과 명제는 기호의 방향을 검토하는 시간을 남겨 두세요. 7·12번은 충분조건과 필요조건의 포함 방향, 10·15번은 여집합의 범위, 20번은 한쪽만 택한 집합과 전체 합집합의 구별이 중요합니다. 식을 세운 직후 그 식을 말로 다시 읽으면 해석 단계의 오류를 줄일 수 있습니다.

기하와 부등식에서는 후보를 얻은 뒤 원래 조건으로 돌아오세요. 16·18번은 사분면에 따른 부호, 19번은 접함과 서로 다른 교점의 경계, 13·21번은 최솟값의 실현 가능성을 확인해야 합니다. 22번은 식만 나열하지 말고 주어진 부호 조건이 각 인수의 부호를 어떻게 정하는지 설명하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합과 명제의 정의부터 점검하세요. 원소와 부분집합을 구별하고 조건의 부정에서 경계가 어떻게 바뀌는지 설명해 보세요(1·2·3번 대비).
2. 집합 연산은 벤다이어그램과 말로 동시에 정리하세요. 필수 원소, 제외 원소, 자유 원소를 나누어 부분집합을 세세요(5·10·11·15번 대비).
3. 명제를 진리집합과 수직선으로 바꾸세요. 역과 대우를 구별하고 충분조건과 필요조건의 포함 방향을 확인하세요(7·8·9·12번 대비).
4. 포함배제 원리를 개수와 최댓값 문제에 적용하세요. 배수의 중복과 교집합의 가능 범위를 먼저 정리하세요(14·20번 대비).
5. 도형의 이동은 점에서 원의 중심으로 확장하세요. 이동 순서를 보존하고 축에 접하는 조건에 중심의 부호를 반영하세요(4·6·16번 대비).
6. 접선과 거리의 관계를 집중 연습하세요. 평행·일치의 예외, 접점 사이의 지름, 서로 다른 교점의 엄격한 부등식을 구별하세요(17·18·19번 대비).
7. 최솟값과 증명에서는 등호의 가능성을 검토하세요. 넓이의 부등식, 대칭이동으로 편 경로, 인수분해한 식의 부호를 설명해 보세요(13·21·22번 대비).