늘푸른고등학교
2022년 1학년 1학기 기말고사

늘푸른고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 회차의 출제 단원은 여러 가지 부등식, 평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 이차함수입니다. 기본 공식의 적용부터 그래프의 교점과 도형의 넓이를 활용하는 문제까지 이어지는 구성입니다.

초반에는 절댓값 부등식, 두 점 사이의 거리, 평행한 직선, 원의 중심과 반지름을 확인합니다. 중반에는 각의 이등분선과 내·외분점, 수선의 발, 넓이 비교처럼 익숙한 개념을 연결합니다. 공식을 알고 있는 데서 그치지 않고 상황에 맞게 선택할 수 있어야 합니다.

후반에는 정수해의 개수, 반원과 직선의 교점, 같은 해를 갖는 부등식, 이차함수와 도형의 관계를 다룹니다. 서술·단답형은 절댓값의 구간 구분과 닮음의 넓이비를 거쳐 원의 접선 활용으로 마무리됩니다. 풀이의 출발점을 정하는 연습과 근거를 문장으로 적는 연습이 함께 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 이어지는 어려움 구간

자동 분류 기준 쉬움인 1~4번은 기본 공식을 정확히 적용하는 구간입니다. 다만 부등식의 경계, 미지수의 양수 조건, 중심 좌표의 부호처럼 짧은 확인을 생략하면 틀릴 수 있습니다. 속도를 내되 조건에 표시하는 습관을 유지하세요.

자동 분류 기준 보통인 5~11번은 식을 세우는 과정이 늘어납니다. 거리의 제곱합은 이차식으로, 각의 이등분선은 거리의 같음으로 바꾸는 식입니다. 18·19번도 같은 보통 분류이지만 서술·단답형이므로 구간 구분과 넓이비의 근거까지 정리하는 시간을 남겨야 합니다.

자동 분류 기준 어려움인 12~17번은 연속해서 등장합니다. 조건을 나누거나 여러 개념을 이어야 하므로 앞 문항을 해결하지 못했다는 이유로 다음 문항도 어렵다고 단정하지 마세요. 특히 20번은 도형의 구조를 읽고 넓이 조건을 연결해야 하는 마지막 고비입니다.

출제 단원 — 직선의 방정식의 비중과 원·부등식의 응용

가장 많은 단원은 직선의 방정식입니다. 평행·수직뿐 아니라 거리, 절댓값 그래프와의 만남, 삼각형의 넓이까지 쓰임이 넓습니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 없지만, 6번에서 거리 공식을 세우지 못하거나 10번에서 반직선의 범위를 놓치면 풀이가 막힐 수 있습니다.

자동 분류 기준 어려움은 부등식의 12·15·16번과 원의 13·14·20번에 집중됩니다. 부등식은 해를 구한 뒤 개수와 존재 조건을 해석해야 하고, 원은 완전한 원과 반원, 접선과 할선을 구별해야 합니다. 단원별 공식 암기 후에 조건을 바꿔 보는 연습이 필요합니다.

평면좌표는 거리 계산에서 내분·외분과 최솟값으로 연결됩니다. 이차함수로 분류된 17번도 직선과 포물선의 교점을 도형의 길이로 바꾸므로, 단원 이름만 보고 학습을 분리하기보다 거리와 근의 관계를 이어서 복습하세요.

문항별 정리

난이도 표시는 모두 자동 분류 기준입니다. 아래에서는 문항의 핵심 개념과 풀이를 시작할 때 확인할 조건을 정리했습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

선정한 문항은 이용자 투표 순위가 아닌 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 얻은 식에 도형의 범위나 그래프의 위치 조건을 한 번 더 적용해야 합니다. 풀이를 복습할 때 계산 줄만 따라가지 말고 각 조건을 사용한 위치를 그림과 식에 함께 표시하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

먼저 1~4번을 풀며 기본 계산을 확보하고, 5~11번은 필요한 공식과 도형 관계가 보이는 문항부터 정리하세요. 12~17번에서 풀이 방향이 잡히지 않으면 표시하고 이동하는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간이 자료에 없으므로 고정된 분 단위보다 구간별 진행 순서를 정해 모의 풀이에서 점검하세요.

서술·단답형 18·19번은 자동 분류 기준 보통입니다. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤에야 서술형을 보겠다는 계획은 피하세요. 18번은 절댓값의 부호가 바뀌는 경계와 각 구간의 교집합을, 19번은 닮음비와 넓이비의 관계를 먼저 적어 풀이의 뼈대를 확보하세요. 20번에는 도형을 다시 표시하고 넓이식을 세울 여유가 필요합니다.

검산은 계산을 처음부터 반복하기보다 조건을 확인하는 데 집중하세요. 9번은 외분점이 선분 바깥에 있는지, 10번은 구한 교점이 해당 반직선 위에 있는지, 12번은 경계의 정수가 포함되는지 확인해야 합니다. 14번의 퇴화한 삼각형 제외, 18번의 음수로 나눌 때 부등호 방향, 19번의 직선 위치 범위도 놓치기 쉬운 지점입니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·기울기·원 표준형을 먼저 복습하세요(2·3·4·8번 대비). 좌표 차의 부호, 수직인 기울기, 완전제곱 후 중심 좌표를 확인하는 순서를 고정하세요.
2. 각의 이등분선에서 거리의 같음과 변의 길이비를 구별하세요(6·7·9번 대비). 내분점과 외분점을 각각 그림으로 확인한 뒤 좌표 공식을 적용하세요.
3. 좌표 도형의 최솟값과 넓이를 연결하세요(5·11·19번 대비). 거리의 제곱합은 이차식으로 정리하고, 넓이는 밑변·높이와 닮음비 중 더 간단한 방법을 선택하세요.
4. 부등식의 해를 수직선과 구간별 표로 정리하세요(1·12·18번 대비). 엄격한 부등호의 경계 제외와 절댓값의 부호 변화를 먼저 적은 뒤 정수해를 확인하세요.
5. 해의 조건을 거꾸로 읽는 부등식 문제를 연습하세요(15·16번 대비). 같은 해가 뜻하는 근의 관계와 해가 존재한다는 조건을 구별하고 꼭짓점의 위치까지 점검하세요.
6. 그래프와 도형의 교점을 다루는 응용으로 마무리하세요(10·13·14·17·20번 대비). 반직선·반원의 범위와 접하는 경계를 표시하고, 근의 관계를 길이·넓이로 바꾸는 과정을 설명해 보세요.