양재고등학교
2024년 1학년 2학기 중간고사

양재고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

양재고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 원의방정식, 명제, 집합, 도형의이동, 절대부등식입니다. 좌표로 도형을 해석하는 내용과 집합·논리를 식으로 표현하는 내용이 함께 출제되었습니다.

초반에는 대칭이동, 원의 중심과 반지름, 대우, 서로소의 뜻을 확인합니다. 중반부터는 같은 개념을 여러 조건에 적용해야 합니다. 명제가 거짓이라는 말을 단순히 부정하는 데 그치지 않고 반례의 존재나 진리집합의 관계로 해석하는 연습이 필요합니다.

후반 원 문항은 원의 방정식만 알고 있어도 바로 끝나지 않습니다. 현의 길이에서 점의 위치를 찾거나 외분점과 직선의 교점을 연결해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 필요한 점과 직선을 구분하고, 최종적으로 사용할 길이·기울기·넓이를 표시해 두세요.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 후반 조건 결합으로

쉬움은 1~4번에 모여 있습니다. 이동에 따른 좌표 부호, 원 위의 점과 중심 사이의 거리, 대우의 방향, 서로소와 여집합의 관계를 정확히 적용하면 됩니다. 기본형에서 시간을 줄이되 문제의 용어를 대충 읽어 생기는 실수를 경계하세요.

보통은 5~13번과 15·19·20번입니다. 접하는 원의 중심을 매개변수로 표현하거나, 명제의 부정을 이차함수의 그래프와 연결하는 등 개념 사이의 변환이 필요합니다. 자동 분류 기준 보통이라도 13번의 구간 포함 관계나 20번의 접선 조건에서는 경계 처리를 빠뜨리기 쉽습니다.

어려움은 14번에서 시작되지만 15번은 보통으로 분류되어 있습니다. 16~18번에서 풀이가 길어지더라도 서술·단답형 19·20번을 먼저 확인할 여지가 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 동일하다고 단정할 수는 없으며, 문항 순서만으로 풀이 순서를 고정할 필요도 없습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 집합·명제의 연결

원의방정식은 2번의 기본 성질부터 5·7번의 접함과 현, 17·18번의 좌표 연결, 20·21번의 서술·단답형으로 이어집니다. 같은 원 단원 안에서도 중심과 반지름을 읽는 능력, 점과 직선 사이의 거리, 접선과 반지름의 수직 관계를 구별해 적용해야 합니다.

명제는 대우와 부정뿐 아니라 필요조건·충분조건, 진리집합, 반례까지 다룹니다. 집합은 벤다이어그램과 원소 개수의 기본형에서 14·16번의 부분집합 경우 세기로 확장됩니다. 논리 문장을 포함 관계로 바꾼 뒤 원소가 반드시 들어갈 영역과 자유롭게 정할 영역을 나누는 연습이 두 단원에 모두 도움이 됩니다.

도형의이동과 절대부등식도 공식 암기만으로 처리하지 마세요. 8번은 식의 입력 변화와 실제 도형의 이동 방향을 구별해야 하고, 12번은 넓이 조건에서 길이의 관계를 만든 뒤 산술평균·기하평균의 등호 조건을 확인해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원 단원과 서술·단답형의 비중 변화

작년과 올해는 모두 수학(하) 시험입니다. 자동 분류 기준 어려움은 7문항에서 5문항으로 줄었지만, 서술·단답형은 1문항에서 3문항으로 늘었습니다. 분류상 어려움의 감소만으로 시험 전체가 편해졌다고 단정하기보다는, 계산 결과와 근거를 직접 정리해야 하는 문항이 늘었다는 점을 함께 보아야 합니다.

단원 구성에서는 원의방정식이 3문항에서 7문항으로 늘고 집합은 7문항에서 5문항으로 줄었습니다. 명제는 6문항으로 같고 도형의이동은 4문항에서 2문항으로 줄었습니다. 올해에는 원의 기본 성질에서 접선·교점까지 이어지는 학습을 충분히 할 필요가 있습니다.

작년 어려움은 14·16·17·18·19·20·21번이었고 올해는 14·16·17·18·21번입니다. 후반에 어려움이 놓이는 흐름은 이어지지만 올해 19·20번은 보통으로 분류되어 있습니다. 다음 시험을 준비할 때도 객관식 후반의 긴 계산에만 매달리지 말고 서술·단답형의 접근 가능한 문항을 먼저 찾는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며, 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 주어진 조건을 다른 표현으로 바꾼 뒤 계산하는 단계가 필요합니다. 시작 전에 원소의 역할이나 점의 정의를 정리하면 중간 계산을 다시 하는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~4번의 개념 확인을 안정적으로 처리하고, 중반 문항에서 조건을 식으로 옮기는 데 걸리는 시간을 살펴보세요. 14번의 부분집합 나열이 길어지면 분류 기준만 적어 두고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 16~18번을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하는 방식으로 순서를 고정하지 마세요.

서술·단답형에서는 19번의 명제와 역을 구분하고, 20번의 접함과 두 점에서 만남을 각각 거리 조건으로 쓰는 것이 출발점입니다. 21번은 교점·접선·넓이 순서로 풀이 칸을 나누어 중간 결과의 역할을 표시하세요. 연습할 때 풀이 시간과 조건 해석 시간을 따로 기록하면 어느 단계에서 지체되는지 확인할 수 있습니다.

검토할 때는 처음부터 재계산하기보다 경계를 먼저 보세요. 6번은 부정된 명제의 부등호, 13번은 구간 끝점, 16번은 적어도 하나의 의미, 17번은 사분면 조건이 중요합니다. 20번은 서로 다른 두 점이라는 조건에서 등호가 제외되는지, 21번은 이미 알려진 교점을 다시 사용하지 않았는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 기본 이동과 원의 중심·반지름을 복습하세요. 이동 전후의 좌표를 대응시키고 점이 원 위에 있다는 뜻을 거리로 설명해 보세요(1·2·5·8번 대비).
2. 집합 연산은 벤다이어그램과 포함 관계를 함께 쓰세요. 서로소, 여집합, 공통 영역의 크기를 그림과 식으로 번갈아 표현하세요(4·9·11번 대비).
3. 명제는 대우·부정·필요조건·충분조건의 방향을 정리하세요. 참인 이유와 거짓임을 보이는 반례를 구별하고 구간으로 진리집합을 그려 보세요(3·6·10·13·15·19번 대비).
4. 부분집합 경우 세기는 필수 원소와 자유 원소를 먼저 나누세요. 여집합 대응이나 전체에서 금지된 경우를 빼는 방법을 선택한 이유도 적어 보세요(14·16번 대비).
5. 원의 접선과 현을 거리·수직 관계로 해석하세요. 공통현과 중심의 관계에서 시작해 접점의 좌표와 기울기까지 연결하세요(7·17·20번 대비).
6. 매개변수로 나타낸 점을 교점과 넓이에 연결하는 연습을 하세요. 길이를 구하는 데 필요한 좌표만 남기고 분모와 위치 조건을 끝까지 확인하세요(18·21번 대비).
7. 산술평균·기하평균을 쓰기 전에 양수 조건과 식의 형태를 점검하세요. 최소가 되는 등호 조건이 실제 도형에서도 가능한지 확인하세요(12번 대비).