언남고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

언남고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 합성함수와역함수, 함수, 유리함수, 직선의방정식입니다. 경우의 수를 세는 문제와 함수의 대응·그래프를 해석하는 문제가 중심을 이룹니다.

앞부분에서는 순열과 조합의 기호, 함수의 뜻, 역함수의 대응, 무리식의 계산을 확인합니다. 뒤로 갈수록 서로 다른 조건을 함께 적용해야 합니다. 단순히 공식을 기억하는 데서 나아가 경우를 어떤 기준으로 나눌지, 그래프의 어느 부분이 실제 정의되는지를 먼저 판단하는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 객관식 후반보다 자동 분류 기준 난이도가 낮지만, 계산 결과만 적는 방식으로 준비하기에는 조건 확인이 중요합니다. 자리별 제한, 역함수의 정의역, 구간별 함수의 적용 범위를 풀이에 남겨야 합니다. 함수식과 그 식이 적용되는 범위를 한 묶음으로 읽는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 모인 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~7번과 10번입니다. 초반은 기본 개념을 빠르게 적용할 수 있는 구간이지만, 7번처럼 집합의 원소 개수를 다시 확인해야 하는 문제도 있습니다. 익숙한 계산이라고 조건 검토를 생략하지 않는 것이 중요합니다.

8·9번부터 치역의 연결과 유리함수의 성질을 구별해야 하고, 11~13번에서는 그래프의 위치 관계와 경우의 수 조건이 이어집니다. 보통 문항에서도 식을 세우는 근거를 분명히 해야 하므로, 쉬움 문항과 같은 속도로 밀어붙이면 경우 누락이 생길 수 있습니다.

어려움은 14·16·17·18번입니다. 색칠과 분배에서는 제한 조건을 만족하는 경우를 세고, 함수에서는 정의역과 교점 수를 연결해야 합니다. 이는 자동 분류 기준의 분포이며 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 후반에서 막혀도 보통으로 분류된 서술·단답형을 확인하는 운영이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 무리함수의 비중

순열조합은 기호 계산과 합의 법칙에서 시작해 간격을 둔 자리 배치, 근과 계수의 관계를 활용한 기호 해석, 인접 제한이 있는 색칠, 조건부 분배로 확장됩니다. 특히 14·17번은 곱의 법칙을 바로 적용하기 전에 허용되는 배치나 반드시 물건을 받아야 하는 대상을 정해야 합니다.

무리함수는 무리식 계산을 포함하며, 그래프의 시작점과 정의역·치역이 반복해서 쓰입니다. 16번은 유리함수와의 교점, 18번은 구간별 정의와 수평선의 교점, 20번은 역함수로 연결됩니다. 단원 표의 분류만 보고 다른 함수와의 결합을 준비에서 제외하지 마세요.

합성함수와역함수에서는 대응을 거꾸로 읽는 기본부터 일대일대응의 조건과 합성식의 치환까지 다룹니다. 22번은 안쪽 함숫값을 별도 변수로 두면 풀이의 단계를 구별할 수 있습니다. 유리함수와 직선의방정식 역시 점근선과 기울기라는 그래프 해석의 기본 도구를 확인합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 명제 중심에서 순열조합·무리함수 중심으로

작년인 2023학년도도 같은 수학(하) 시험입니다. 총 문항과 서술·단답형은 늘었지만, 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 4문항으로 줄고 쉬움은 5문항에서 8문항으로 늘었습니다. 이 변화만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 단정하기보다는 기본 문항을 안정적으로 처리할 기회가 늘어난 구성으로 볼 수 있습니다.

작년에는 명제가 7문항으로 가장 많았고, 올해는 순열조합이 7문항으로 중심이 되었습니다. 공통으로 출제된 무리함수는 2문항에서 6문항으로 늘고 유리함수는 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 합성함수와역함수는 모두 5문항이므로 대응과 치환의 기본을 유지하면서 올해 비중이 커진 무리함수의 그래프 해석을 보강하세요.

작년의 어려움은 9·13·16·17·18번, 올해는 14·16·17·18번입니다. 올해는 객관식 후반에 더 모여 있으므로 앞부분에서 확보한 시간을 조건 분류에 활용하는 연습이 필요합니다. 다음 시험의 범위를 먼저 확인하되, 이번 시험을 복습할 때는 순열조합의 제한 조건과 무리함수의 정의역·치역을 우선 정리하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전에 가능한 대상과 범위를 정해야 한다는 것입니다. 먼저 분류 기준을 적고 계산한 뒤 원래 조건으로 돌아와 누락과 중복을 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 대응 읽기와 기본 계산처럼 출발점이 분명한 문항을 먼저 처리하세요. 14번에서 색칠의 경우를 정리하는 데 오래 걸리면 표시하고 다른 문항을 살펴보세요. 객관식 후반을 모두 해결한 뒤 서술·단답형을 시작하기보다 19~22번의 접근 가능성도 일찍 확인하는 연습을 권합니다.

서술·단답형에는 식을 선택한 이유를 짧게 남기세요. 19번은 자리별 제한과 사전식 묶음, 20번은 역함수의 정의역과 제곱 전 부호, 21번은 목표 함숫값이 속하는 치역, 22번은 치환 전후의 구간 조건이 핵심입니다. 연습에서는 조건을 정리하는 시간과 계산 시간을 구분해 기록하면 막히는 원인을 찾기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 계산을 모두 반복하기보다 조건을 집중적으로 확인하세요. 7번의 서로 다른 집합 원소, 8번의 치역 겹침과 빈틈, 12번의 자리 간격과 빈자리 수를 구별해야 합니다. 16·18번은 정의역의 시작점과 경계 포함 여부, 17번은 제외한 경우의 중복을 다시 보세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의와 대응부터 확인하세요. 정의역의 모든 원소를 대입하고 공역 포함 여부와 같은 함수의 조건을 점검하세요(3·4·7번 대비).
2. 순열·조합 기호와 합의 법칙을 복습하세요. 고르는 단계와 나열하는 단계를 분리하고 근과 계수의 관계로 주어진 기호를 연결하세요(1·2·13번 대비).
3. 제한이 있는 배치를 연습하세요. 빈자리 수를 위치 차이로 바꾸고, 색칠에서 함께 선택할 수 있는 칸을 먼저 분류하세요(12·14번 대비).
4. 분배와 자연수 배열을 정리하세요. 필수 수령자의 누락은 포함배제로, 자리별 제한과 사전식 순서는 앞자리별 묶음으로 다루세요(17·19번 대비).
5. 합성과 역함수는 입력을 단계별로 추적하세요. 치환한 값과 원래 입력의 범위를 구별하고 치역의 연결 조건도 확인하세요(6·8·15·22번 대비).
6. 그래프는 점근선·시작점·기울기를 먼저 표시하세요. 기본 성질을 확인한 뒤 정의역과 치역, 교점 수, 역함수와의 대칭으로 확장하세요(5·9·10·11·16·18·20·21번 대비).