언남고등학교
2023년 1학년 2학기 중간고사

언남고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 집합, 직선의방정식, 원의방정식, 도형의이동입니다. 집합의 기호와 원소 개수부터 좌표평면의 자취, 접선, 도형의 넓이까지 다룹니다.

초반에는 대상이 명확한 집합의 정의, 점과 직선 사이의 거리, 두 점을 지나는 직선처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 중반부터는 거리 조건을 수직이등분선으로 읽거나 넓이 조건으로 직선을 정하는 등 문장을 도형의 성질로 바꾸는 과정이 필요합니다.

후반에는 익숙한 공식을 여러 단계로 연결해야 합니다. 집합 연산을 정리한 뒤 약수 조건을 해석하고, 원의 접선을 구한 뒤 다른 도형과의 위치 관계를 살피는 방식입니다. 따라서 공식 암기와 함께 각 식이 어느 조건에서 나온 것인지 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 후반에 모인 조건 결합형 문항

쉬움 문항은 초반에 배치되어 있습니다. 집합의 정의와 기호를 정확히 읽고 거리·기울기·대칭이동의 기본 원리를 적용하면 접근할 수 있습니다. 다만 원소와 부분집합의 구별, 평행과 수직의 조건처럼 짧은 문항에서도 개념을 바꾸어 읽는 실수에 주의하세요.

보통 구간에는 단순 계산을 넘어선 판단이 들어갑니다. 9번은 접한다는 조건에 앞서 원이 성립하는지 확인해야 하고, 12번은 넓이를 나누는 직선의 교점이 실제 변 위에 놓이는지 따져야 합니다. 13번도 계수가 사라지는 예외를 따로 보는 것이 중요합니다.

어려움은 객관식 마지막 구간과 서술·단답형 끝부분에 집중됩니다. 반면 18·19번은 보통으로 분류되어 있어 객관식 후반에 막혔다고 서술·단답형 전체를 미룰 필요는 없습니다. 이 난이도는 자동 분류 기준이며, 실제 체감은 집합의 경우 구분과 좌표 계산의 숙련도에 따라 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 집합과 직선 중심, 원의 접선에서 확장

집합은 정의와 포함 관계에서 시작해 부분집합의 개수, 배수의 집합, 설문 집계, 약수 조건으로 이어집니다. 기호를 읽는 연습만으로는 후반을 준비하기 어렵습니다. 차집합과 여집합을 서로 겹치지 않는 영역으로 나누고, 각 영역의 원소 개수가 음수가 될 수 없다는 조건까지 활용하세요.

직선의방정식은 기본 거리와 기울기에서 자취, 넓이 분할, 정점, 최솟값으로 확장됩니다. 특히 20번은 정삼각형의 넓이를 높이로 바꾼 뒤 점과 직선 사이 거리의 최솟값으로 옮기는 연결이 핵심입니다. 풀이를 시작하기 전에 무엇을 최소화하면 되는지 정리하는 습관이 필요합니다.

원의방정식은 문항 수에 비해 자동 분류 기준 어려움 문항이 많이 포함됩니다. 접선 공식만 외우기보다 중심에서 직선까지의 거리로 접함과 교차를 판단하는 연습이 중요합니다. 도형의이동도 점의 좌표와 원의 중심을 함께 추적해야 하므로, 이동 순서와 반지름이 유지되는 성질을 확인하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 달라진 구성과 후반 부담

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 총 문항과 서술·단답형은 줄었지만, 자동 분류 기준 어려움 문항은 늘고 보통 문항은 줄었습니다. 문항 수 감소를 곧바로 풀이 부담 감소로 해석하기보다, 후반의 조건 연결에 시간을 남겨야 하는 구성으로 보는 것이 적절합니다.

집합은 작년 8문항에서 올해 7문항, 도형의이동은 4문항에서 3문항으로 줄었고 원의방정식은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 작년 자료에 있던 명제와 절대부등식 대신 올해는 직선의방정식이 큰 비중을 차지합니다. 같은 과목이라도 실제 출제 단원에 맞춰 학습 비중을 다시 정해야 합니다.

작년 어려움은 17번에 있었고 서술·단답형에는 없었습니다. 올해는 14~17번과 20·21번으로 이어지므로, 객관식 후반을 풀고도 거리 최소화와 공통접선을 다룰 여유가 필요합니다. 다음 준비에서는 집합 기본기를 유지하면서 직선과 원을 연결하는 서술 연습을 강화하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확정된 순위가 아닌, 조건을 연결하는 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 도형의 의미를 거리 관계로 바꾸는 단계가 중요합니다. 식을 세우기 전에 어떤 중심과 직선, 어떤 높이를 비교하는지 그림에 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반의 기본형을 안정적으로 처리하고, 12번처럼 위치 검토가 길어지는 문항은 필요한 그림과 조건을 남긴 채 다시 돌아오세요. 14~17번에서 시간이 오래 걸리면 18·19번의 접근 가능성을 먼저 확인하는 운영도 연습할 만합니다. 번호 순서만 따라가기보다 풀이의 출발점이 보이는 문항부터 확보하세요.

서술·단답형에서는 답을 계산하기 전 근거를 짧게 적어 두세요. 18번은 이동량과 적용 방향, 19번은 서로 겹치지 않는 영역, 20번은 넓이와 거리의 관계가 출발점입니다. 21번은 공통접선의 거리 조건을 세운 뒤 예외와 부호를 순서대로 검토해야 계산 중 조건을 잃지 않습니다.

마지막 검토는 계산 전체를 반복하기보다 빠뜨리기 쉬운 조건에 집중하세요. 9번의 원 성립 조건, 12번의 교점 위치, 13번의 계수 소멸, 14번의 부등호를 확인하세요. 집합에서는 원소 개수의 음수 가능성과 진부분집합의 의미를, 접선에서는 수직선의 예외와 절댓값 처리 뒤의 부호를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 집합의 정의와 원소·부분집합 기호부터 복습하세요. 조건으로 정해진 집합을 실제 원소로 바꾸고 선택 가능한 원소를 구분해 보세요(1·4·10번 대비).
2. 집합 연산을 겹치지 않는 영역으로 나누는 연습을 하세요. 포함배제와 약수·배수 조건을 연결하고 각 영역의 가능한 범위를 확인하세요(11·15·16·19번 대비).
3. 거리와 기울기의 기본형을 익힌 뒤 자취와 넓이 분할로 확장하세요. 계수가 사라지는 경우와 교점이 실제 변 위에 있는지도 살피세요(2·3·7·8·12·13번 대비).
4. 이동 전후의 좌표를 나란히 적는 연습을 하세요. 평행이동과 대칭이동의 순서를 구별하고 점과 원에 같은 규칙을 적용하세요(5·6·18번 대비).
5. 원의 접선은 중심과 직선 사이 거리에서 출발하세요. 접점의 수직 관계, 자취와의 교차, 공통접선의 조건까지 연결해 보세요(9·14·17·21번 대비).
6. 도형의 최솟값은 최소화할 대상을 먼저 정하세요. 정삼각형의 넓이를 높이로 바꾸고 거리의 식과 실제 도형의 존재를 함께 설명하세요(20번 대비).