양천고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

양천고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 합성함수와역함수, 무리함수, 함수입니다. 순열·조합 기호와 점근선의 기본부터 구간별 함수의 치역, 직선과의 교점 조건까지 다룹니다.

함수에서는 식을 대입하는 능력에 더해 그래프가 실제로 존재하는 범위를 읽어야 합니다. 각 부분이 증가하거나 감소하는지, 경계의 함숫값을 포함하는지, 서로 다른 구간의 치역이 겹치는지를 연결하는 문제가 반복됩니다. 역함수의 존재와 역함수 그래프의 교점은 서로 다른 조건으로 구별해 공부하세요.

경우의 수는 고르는 대상과 세는 기준을 바꾸는 연습이 필요합니다. 대진표에서는 같은 구성을 중복해서 세는지, 격자에서는 남겨 둔 칸으로 바꾸어 보는 것이 유리한지 판단해야 합니다. 서술·단답형도 기본 대응 읽기와 복합 조건 분류가 섞여 있으므로 번호 순서만으로 접근 순서를 정하지 마세요.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 판단

자동 분류 기준 쉬움은 1~4번으로, 순열·조합 기호 계산과 약수 개수, 유리함수의 점근선을 확인합니다. 이 구간은 공식을 정확히 적용하면서 검토 시간을 아끼는 연습에 적합합니다. 다만 순열과 조합의 관계나 소인수분해의 지수 처리를 생략하면 기본 문항에서도 실수가 생깁니다.

보통 문항은 5·6·8·9·14·19·20번입니다. 합성 순서, 유리함수의 역함수, 자연수 순서쌍, 사분면 조건처럼 서로 다른 개념을 정리해야 합니다. 7번에서 막히더라도 8·9번을 살펴보고, 후반에서는 19·20번의 접근 가능성도 확인하세요.

어려움은 객관식과 서술·단답형에 걸쳐 있습니다. 특히 21~24번은 모두 자동 분류 기준 어려움이지만, 역함수 교점·직선과의 교점·구간별 조건·나머지 분류처럼 필요한 접근법은 다릅니다. 분류가 같다는 이유로 풀이 시간을 똑같이 배정하지 말고, 조건을 정리할 수 있는 문항부터 진행하세요.

출제 단원 — 순열조합과 함수의 범위 해석

순열조합은 기호·약수·자연수 순서쌍의 기본형에서 대진표, 격자 인접 관계, 합과 곱의 배수 조건으로 확장됩니다. 7번은 구분되지 않는 조의 중복, 18번은 이웃한 칸 쌍의 중복, 24번은 조건을 만족하는 나머지 구성의 누락이 핵심 점검 대상입니다.

유리함수는 점근선에서 출발해 역함수와 도형의 넓이, 구간 전체에서 성립하는 부등식으로 연결됩니다. 합성함수와역함수에서는 10·12번의 치역 연결, 16번의 반복 합성 그래프가 중요합니다. 식을 모두 전개하기 전에 각 부분의 입력과 출력 범위를 정리하는 편이 효율적입니다.

무리함수는 시작점, 증감, 근호의 부호 조건이 공통 도구입니다. 수평선과의 교점부터 역함수 및 직선과의 교점까지 적용됩니다. 함수 단원의 11·17번도 각각 일대일대응의 개수와 나머지로 정해지는 치역을 다루므로, 그래프 계산과 별도로 대응의 뜻을 복습해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 확대와 위치 변화

작년인 2022학년도와 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 6문항에서 13문항으로 늘었고 쉬움은 8문항에서 4문항으로 줄었습니다. 총 문항은 늘고 서술·단답형은 줄었으므로, 형식별 문항 수만으로 풀이 부담을 판단하기 어렵습니다.

가장 많은 단원은 모두 순열조합이지만 10문항에서 7문항으로 줄었습니다. 유리함수와 합성함수와역함수는 각각 4문항에서 5문항으로 늘었고, 무리함수는 모두 5문항입니다. 올해는 함수 단원의 2문항도 있으므로 순열조합에만 학습을 집중하기보다 대응과 그래프의 범위 해석을 보강하세요.

작년의 어려움은 14·15·16·17·18·22번이었지만 올해는 7번부터 등장합니다. 특히 올해 21~24번에 어려움이 이어지므로 중반에서 조건 분류가 길어지는 문항을 잠시 넘기는 연습이 필요합니다. 다음 시험 대비에서는 기본 계산을 유지하면서 구간별 치역과 교점 수 판단을 별도 과제로 다루세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

위 문항은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 세기 쉬운 대상으로 바꾸는 단계가 필요합니다. 식이나 그림을 만든 뒤에는 바꾼 조건이 원래 조건을 빠짐없이 반영하는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기호 계산과 기본 합성 관계를 안정적으로 처리하세요. 7번의 대진표에서 오래 머무르면 표시하고 8·9번으로 진행하는 연습이 좋습니다. 중반에 어려움이 이어지더라도 14번, 후반의 19·20번처럼 접근할 수 있는 문항을 먼저 확인하세요.

서술·단답형은 19·20·21·24번으로 번호가 연속되지 않습니다. 전체를 훑을 때 이 위치를 표시하고, 각 문항의 조건 정리와 계산에 필요한 시간을 구분해 보세요. 19번은 계수 부호를 판단한 이유, 20번은 대응을 거슬러 찾는 과정, 21·24번은 경우를 나누는 기준을 풀이에 남기는 연습이 필요합니다.

마지막 검토는 정의역·경계점·중복에 집중하세요. 10·12·13번은 각 부분의 치역과 끝점 포함, 15번은 부등식을 나눌 때의 부호, 21·22번은 치환이나 제곱 뒤 허용되지 않는 후보가 남았는지 확인해야 합니다. 7·11·18·24번은 중복 보정 또는 경우 누락을 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 소인수분해를 복습하세요. 고르는 경우와 나열하는 경우를 구별해 기본 계산을 안정시키세요(1·3·4·8번 대비).
2. 합성 순서와 역대응을 정리하세요. 식의 간소화와 그래프의 대응 복원을 각각 연습하세요(5·6·20번 대비).
3. 점근선과 무리함수의 시작점을 먼저 표시하세요. 정의역·치역과 증감, 사분면 조건을 연결하세요(2·9·14·19번 대비).
4. 구간별 함수의 치역을 표로 정리하세요. 일대일 조건과 치역의 겹침·빈틈, 수평선의 교점 수를 구별하세요(10·12·13번 대비).
5. 반복 합성과 직선·역함수의 교점을 연습하세요. 적용 구간과 치환 변수의 범위를 적고 후보를 검토하세요(15·16·21·22·23번 대비).
6. 경우의 수는 분류 기준부터 적으세요. 조의 교환, 금지 대응, 나머지별 치역, 인접 관계와 배수 조건을 각각 표나 그림으로 나타내세요(7·11·17·18·24번 대비).