상문고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

상문고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 시험은 함수의 기본 개념, 합성함수와 역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합을 다룹니다. 함수의 정의와 그래프를 읽는 능력에 경우의 수 계산을 함께 점검하는 범위입니다.

초반에는 합성함수의 대입 순서, 역함수의 정의, 점근선처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 순열조합도 묶어서 배열하기와 독립적인 선택에서 출발하지만, 뒤로 가면 도형의 성립 조건이나 색의 일치 여부에 따라 계산을 달리해야 합니다.

서술·단답형은 기본 공식을 설명하는 문제와 복잡한 조건을 정리하는 문제가 함께 있습니다. 객관식 끝까지 모두 해결한 뒤 서술형으로 넘어가기보다, 전체에서 바로 시작할 수 있는 문항을 확인하는 운영이 필요합니다. 계산 결과뿐 아니라 왜 그 경우를 세었는지 설명하는 연습도 하세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움은 1~9번과 14·20·21번입니다. 앞부분에서 개념을 정확히 적용하면 풀이를 빠르게 진행할 수 있는 구성입니다. 다만 14번은 전개에서 만들어지는 선택 경로와 서로 다른 항을 구별해야 하므로, 쉬움 분류만 보고 중복 검사를 생략해서는 안 됩니다.

보통은 10·11·12·13·15·17·22번입니다. 조합 기호와 근과 계수의 관계를 연결하거나, 역함수 조건을 원래 함수의 조건으로 되돌리는 과정이 필요합니다. 공식 대입에 앞서 어떤 개념을 연결해야 하는지 짧게 메모하면 시행착오를 줄일 수 있습니다.

어려움은 16번부터 나타나지만 17번과 서술·단답형 앞부분에 접근 가능한 문제가 남아 있습니다. 난이도는 자동 분류 기준으로 실제 체감과 다를 수 있습니다. 특히 후반에 막힌 문항을 오래 붙잡아 이미 알고 있는 기본 서술 과정을 쓰지 못하는 상황을 피하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 4·6·7·8·10·12·14·19·20·23번으로 가장 넓게 분포합니다. 배열과 선택뿐 아니라 자연수 순서쌍, 약수, 다각형, 전개식의 항까지 경우의 수로 다룹니다. 문제의 겉모습보다 세려는 대상이 무엇인지 정하고 순서의 구별 여부를 판단하는 것이 중요합니다.

함수 영역은 단원 사이의 연결이 두드러집니다. 13번은 무리함수와 역함수의 교점 조건을, 18번은 원래 함수와 역함수 중 작은 값을 택하는 그래프를 다룹니다. 24번 역시 합성함수를 교점 개수로 해석하므로 개별 그래프를 그리는 연습에서 멈추지 않아야 합니다.

유리함수는 3·21번의 점근선과 그래프에서 11번의 평행이동, 16번의 주기적인 그래프와의 비교로 이어집니다. 무리함수는 정의역 확인을 출발점으로 역함수와 최대·최소까지 확장됩니다. 정의역과 치역을 풀이 첫 줄에 적는 습관이 여러 단원에 공통으로 도움이 됩니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 과목에서 기본형 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 10문항에서 5문항으로 줄고, 쉬움은 4문항에서 12문항으로 늘었습니다. 문항 수는 늘었지만 분류상 기본형을 확보할 구간이 넓어졌으므로, 후반 고난도 대비와 함께 쉬운 문제의 정확도를 높이는 준비가 필요합니다.

순열조합은 작년에도 가장 많은 단원이었으며 올해 비중이 더 커졌습니다. 공통 단원인 무리함수는 5문항에서 4문항, 유리함수는 4문항에서 4문항, 함수는 4문항에서 2문항으로 바뀌었습니다. 단원별 수치의 변화만으로 개별 문항의 풀이 부담을 단정하기보다 조건 처리 방식을 함께 보세요.

작년 어려움 문항은 객관식 8·10~14번과 서술·단답형 17~20번에 있었고, 올해는 16·18·19·23·24번입니다. 올해 서술·단답형 앞부분에도 기본형이 있으므로 뒤쪽이라는 이유로 미루지 마세요. 다음 대비에서는 기본 그래프와 순열 공식을 먼저 안정시킨 뒤 제한 조건이 겹치는 유형으로 확장하는 순서가 적절합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 정해진 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경우를 나누기 전에 기준을 명시해야 합니다. 함수에서는 경계 높이, 배열에서는 분류한 자리와 금지 조건을 먼저 적으면 누락을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본 개념을 정확히 처리하고, 16번 이후 그래프 분석이 길어지면 표시해 두세요. 20·21번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 서술형이라는 이유로 마지막까지 남기지 않는 편이 좋습니다. 실전 연습에서는 전체를 훑어 시작 가능한 문제를 찾는 시간을 포함하세요.

서술 과정은 핵심 근거부터 적으세요. 20번은 순열 기호를 변형한 이유, 21번은 점근선과 그래프 가지의 위치, 22번은 공통 정의역과 제곱이 허용되는 이유가 중요합니다. 고난도 풀이를 길게 이어 가기 전에 기본형의 설명을 완성할 시간을 확보하세요.

검토할 때 함수 문제는 정의역, 제곱 전 부호, 경계 포함 여부를 우선 확인하세요. 18번은 작은 값을 택하는 구간이 뒤바뀌지 않았는지, 24번은 같은 높이를 중복해 세지 않았는지 점검해야 합니다. 경우의 수에서는 14번의 같은 항과 23번의 중복 위반을 별도로 표시해 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 입력·출력과 치역을 복습하고, 합성 순서 및 역함수의 정의를 말로 설명해 보세요(1·5·9·15·17번 대비).
2. 유리함수를 평행이동 형태로 정리하고 점근선·교점·그래프 가지를 함께 그리세요(3·11·21번 대비).
3. 무리함수의 정의역과 역함수의 범위를 먼저 적고, 제곱 뒤 후보를 원래 조건으로 검사하세요(2·13·18·22번 대비).
4. 순열과 조합의 선택 기준을 정리한 뒤, 도형이나 약수처럼 겉모습이 다른 경우 세기로 넓혀 보세요(4·6·7·8·10·12·20번 대비).
5. 중복되는 항과 금지 배치를 구별하는 연습을 하세요. 색칠 조건은 이웃 관계로, 배열 제한은 자리별 표로 정리하세요(14·19·23번 대비).
6. 반복 그래프와 합성함수는 높이에 따른 교점 개수를 기록하세요. 경계에서 개수가 바뀌는 이유까지 설명하는 연습이 필요합니다(16·18·24번 대비).