양천고등학교
2023년 1학년 1학기 기말고사

양천고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

양천고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 대수 계산에 좌표도형의 거리와 위치 관계를 연결하는 시험입니다.

초반에는 거리 공식, 외분점, 연립일차부등식 등 기본 개념을 정확히 적용하는지가 중요합니다. 중반부터는 모든 실수에서 성립한다는 조건과 해가 존재한다는 조건을 구별하고, 도형의 관계를 식으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 공식을 기억하는 것에 더해 어떤 조건에서 그 공식을 적용하는지 설명할 수 있어야 합니다.

후반에서는 조건을 한 번 적용해 얻은 후보가 최종 결론이 되지 않는 경우가 눈에 띕니다. 서로 다른 실근을 셀 때 겹치는 근을 빼거나, 거리식으로 얻은 직선 중 사분면 조건에 맞는 것을 골라야 합니다. 연습할 때 풀이 마지막에 원래 조건을 대조하는 줄을 따로 남겨 두세요.

난이도 분포 — 기본형 확보 뒤 후반 조건 검토

쉬움 문항은 객관식 1~6번과 서술·단답형 19·20·22번입니다. 초반에는 계산 실수를 줄이며 풀이 속도를 확보하고, 서술·단답형에서는 무게중심이나 근과 계수의 관계처럼 출발점이 분명한 문제를 먼저 처리하는 운영이 가능합니다. 문항 형식만 보고 풀이 부담을 판단하지 마세요.

보통 문항은 7~11번과 13·14·21번입니다. 연립방정식의 여러 해를 비교하거나, 부등식의 성립 조건을 판별식으로 바꾸고, 점과 직선 사이의 거리를 활용하는 연결 과정이 들어갑니다. 계산량을 줄이려면 먼저 인수분해할지, 그래프로 볼지, 거리로 바꿀지를 정해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 12·15·16·17·18·23·24번입니다. 객관식 후반과 서술·단답형 마지막에서 경우 분류와 후보 검증이 겹칩니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아니며, 특히 원의 위치 관계와 부등식의 구간 해석을 복습할 우선순위를 정하는 데 활용하세요.

출제 단원 — 여러가지부등식의 비중과 원의 조건 해석

여러가지부등식은 기본적인 정수 해의 개수에서 항상 성립하는 조건, 입력이 바뀐 부등식, 절댓값과 자연수 해의 개수까지 확장됩니다. 8·11·20번에서는 판별식과 등호의 포함 여부를, 15·17번에서는 구간의 이동과 분할을 중심으로 정리하세요. 같은 단원 안에서도 요구하는 사고 과정이 다릅니다.

직선의방정식과 평면좌표는 거리·분점·무게중심이 바탕입니다. 9번은 넓이 공식을 만드는 증명 과정, 13번은 움직이는 점과 무관한 정점, 24번은 무게중심과 거리의 결합을 다룹니다. 공식별로 따로 외우기보다 도형에서 얻은 비율이 좌표와 거리에 어떻게 반영되는지 연결해 보세요.

원의방정식은 12·18·21·23번에 배치됩니다. 중심과 직선 사이의 거리를 반지름과 비교하는 기본 원리가 현의 길이, 축에 접하는 조건, 매개변수에 따른 교점 개수로 이어집니다. 여러가지방정식은 7·16·22번으로, 인수분해와 근과 계수의 관계에 실근의 중복 검사를 더해 준비해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 단원과 난이도 분포

작년과 올해 모두 수학(상)이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 5문항에서 7문항으로 늘었지만 쉬움도 6문항에서 9문항으로 늘었습니다. 보통은 13문항에서 8문항으로 줄어, 어려움의 증가만으로 시험 전체가 일률적으로 어려워졌다고 해석하기는 어렵습니다.

가장 많은 단원은 여러가지방정식에서 여러가지부등식으로 바뀌었습니다. 여러가지방정식은 6문항에서 3문항, 여러가지부등식은 4문항에서 8문항입니다. 직선의방정식은 5문항으로 같고, 원의방정식은 5문항에서 4문항, 평면좌표는 3문항에서 4문항으로 바뀌었습니다. 대비에서는 부등식의 조건 해석을 우선하되 거리와 좌표의 기본기를 유지하세요.

작년 어려움 문항은 15·16·17·18·23번이고, 올해는 여기에 해당하는 후반 구간 외에 12번과 마지막 24번에도 배치됩니다. 앞쪽의 어려운 문제에서 오래 멈추지 않고 쉬운 서술·단답형을 확보하는 연습이 필요합니다. 후반 대비는 부등식의 경우 분류와 원·직선의 위치 관계를 함께 묶어 진행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 구간 내부의 계산과 경계에서의 예외를 구별해야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 경우를 나누는 기준을 적고, 계산 뒤에는 누락된 경계가 없는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확히 처리하고, 12번에서 풀이가 길어지면 표시한 뒤 다음 문항을 확인하세요. 13·14번은 자동 분류 기준 보통이며, 서술·단답형 19·20·22번도 기본 개념으로 접근할 수 있습니다. 객관식을 모두 마친 뒤에만 서술·단답형을 시작하는 운영은 피하는 편이 좋습니다.

후반에 돌아왔을 때는 계산부터 반복하지 말고 현재 막힌 조건을 짧게 써 보세요. 16번은 중근과 공통근의 구별, 17번은 절댓값 구간과 자연수 조건, 18번은 유일성 조건이 검토 대상입니다. 연습에서는 식을 세우는 시간과 계산·검증 시간을 따로 기록하면 어떤 단계가 느린지 파악하기 쉽습니다.

마지막 검토에서는 20번의 엄격한 부등호와 21번의 접점 포함 여부를 대비해 보세요. 12·24번은 거리식에서 얻은 후보를 사분면 조건으로 걸러야 하고, 23번은 접할 때 교점 개수가 달라집니다. 계산을 처음부터 다시 하기보다 답안의 경계 처리와 후보 제외 근거를 먼저 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 거리·외분점·무게중심 공식을 좌표 그림과 함께 복습하세요. 분점의 순서와 부호를 말로 설명한 뒤 계산하세요(1·4·19번 대비).
2. 일차·이차부등식의 해를 수직선에 나타내세요. 끝점 포함 여부와 정수 개수 세기를 함께 확인하세요(2·3번 대비).
3. 항상 성립과 해의 존재를 구분해 그래프와 판별식으로 설명하세요. 절댓값을 양쪽 부등식으로 바꾸는 연습도 더하세요(8·10·11·20번 대비).
4. 인수분해와 근과 계수의 관계를 복습한 뒤 서로 다른 실근의 중복을 검사하세요. 각 경우에서 얻은 해를 한곳에 모아 비교하세요(7·16·22번 대비).
5. 부등식의 입력 변환과 절댓값 구간 분류를 연습하세요. 변환된 해를 원래 변수의 구간으로 돌리고 자연수 조건을 적용하세요(15·17번 대비).
6. 점과 직선 사이의 거리에서 현·접선·교점 개수로 확장하세요. 중선의 비율과 사분면 조건을 함께 적용하는 풀이로 마무리하세요(6·9·12·13·18·21·23·24번 대비).