보평고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

보평고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

보평고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 절대부등식입니다. 함수의 기본 성질부터 그래프 해석과 경우의 수까지 함께 준비해야 하는 구성입니다.

함수 문항은 식을 구하는 데서 끝나지 않습니다. 구간마다 달라지는 치역을 이용해 방정식의 실근 개수를 판단하거나, 합성 과정에서 입력 범위가 어떻게 바뀌는지 추적해야 합니다. 점근선에 가까워지는 값과 실제로 갖는 값을 구별하는 것이 여러 문항을 관통하는 과제입니다.

순열조합에서는 도형을 만드는 점 선택, 이웃한 자리, 같은 의자에 앉는 조건, 도형에 수를 적는 조건이 등장합니다. 서술·단답형은 중간 번호에 있으므로 마지막 번호까지 객관식을 푼 뒤 시작하는 방식은 맞지 않습니다. 전체 구성을 먼저 훑고 접근 가능한 문항을 확보하세요.

난이도 분포 — 초반의 어려움과 후반의 연속된 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·2·3번은 일대일대응, 무리함수의 기본 성질, 순열조합 기호를 확인합니다. 8번도 쉬움에 해당하지만 자리의 이웃 관계를 그림에서 읽어야 합니다. 익숙한 공식이라도 적용 대상과 정의역을 확인한 뒤 계산하는 습관이 필요합니다.

4·5번에서 어려움이 나온 뒤 6·7번은 보통, 8번은 쉬움으로 돌아옵니다. 앞 문항에서 오래 막히면 뒤의 기본형까지 놓칠 수 있습니다. 9~19번은 모두 자동 분류 기준 어려움이며, 함수의 구간 해석과 경우의 수 조건 정리가 이어집니다.

이 분류가 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 후반에서는 단순 대입보다 경우를 나누고 후보를 검토하는 과정이 두드러집니다. 계산 속도와 별개로 조건을 짧은 표나 스케치로 옮기는 연습이 도움이 됩니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 그래프의 연결

순열조합은 기호 계산에서 조건부 배치까지 폭이 넓습니다. 6번은 전체 선택에서 도형이 되지 않는 경우를 제외하고, 11번은 금지된 자리 배치의 중복을 조정합니다. 16·19번은 기준이 되는 수나 학년 배치를 먼저 정한 다음 나머지 선택을 세는 접근이 중요합니다.

합성함수와역함수에서는 반복 적용, 합성 그래프, 이동 구간의 최솟값, 역함수 존재 조건을 다룹니다. 무리함수와 유리함수에서도 치역과 교점 수를 묻는 흐름이 이어집니다. 단원별 공식 암기와 함께 함수의 각 부분이 어떤 높이의 값을 갖는지 설명하는 연습을 해 보세요.

17번은 유리함수 그래프 위의 점과 직사각형 넓이를 연결하지만 자료의 단원 분류는 절대부등식입니다. 넓이식을 양수인 항들의 합으로 정리한 뒤 산술평균과 기하평균의 관계를 적용합니다. 그래프 해석과 부등식의 적용 조건을 함께 점검해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 어려움의 위치는 변화

작년과 올해 모두 수학(하)이며, 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 같습니다. 쉬움은 늘고 보통은 줄었지만 이 정보만으로 시험 전체가 쉬워졌다고 판단하기는 어렵습니다. 서술·단답형은 작년의 마지막 번호들에서 올해의 중간 구간으로 이동했습니다.

작년에는 어려움이 7~19번에 이어졌고 올해는 4·5번에서 먼저 등장한 뒤 9~19번에 이어집니다. 순열조합은 5문항에서 6문항, 합성함수와역함수는 3문항에서 5문항으로 늘었습니다. 무리함수는 4문항으로 같고 유리함수는 3문항에서 2문항으로 줄었습니다. 다음 대비에서는 그래프의 범위 해석과 조건부 배치를 우선 복습하되, 번호만 보고 풀이 순서를 정하지 않는 연습도 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 식을 변형한 뒤에도 입력 범위와 끝점 정보를 보존해야 합니다. 풀이 옆에 구간과 치역을 적어 두면 경우를 바꿀 때 조건이 섞이는 일을 줄일 수 있습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~3번의 기본 개념을 확인하고, 4·5번이 길어지면 표시한 뒤 6~8번으로 넘어가세요. 9번 이후에는 어려움이 이어지므로 끝까지 순서대로 풀겠다는 목표보다 출발점이 보이는 문항을 골라 진행하는 편이 좋습니다. 실제 시험 시간에 맞춘 연습에서 문항별 정체 시간을 기록하세요.

서술·단답형 16·17번을 위한 풀이 시간도 남겨 두세요. 16번은 기준 수를 정한 이유와 남은 선택이 독립적인 이유를, 17번은 치환한 양의 양수 조건과 등호 성립 조건을 짧게 써야 합니다. 식만 나열하기보다 어떤 조건을 사용했는지 계산 줄 옆에 적는 연습이 필요합니다.

최종 검토에서는 계산을 전부 반복하기보다 누락되기 쉬운 조건을 확인하세요. 5번의 제곱 전 부호, 12번의 공유 꼭짓점, 13·15번의 경계 포함 여부, 18번의 공역 전체에 대한 대응을 점검하세요. 경우의 수에서는 11번의 중복 제외와 19번의 줄·열 조건을 다시 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 일대일성과 치역, 무리함수의 시작점부터 복습하세요. 정의역·공역·치역을 구별해 말로 설명한 뒤 그래프를 그려 보세요(1·2번 대비).
2. 순열조합 기호와 전체에서 제외하는 방법을 익히세요. 제외한 경우가 겹치는지 그림과 집합으로 확인하세요(3·6·11번 대비).
3. 자리 배치에서는 기준 좌석이나 학년 배열을 먼저 정하는 연습을 하세요. 도형의 인접 관계와 선택의 독립성을 먼저 확인하세요(8·16·19번 대비).
4. 무리함수와 유리함수의 구간별 치역을 표로 정리하세요. 수평선을 움직이며 교점 수와 경계 높이의 예외를 설명하세요(4·9·10·13·15번 대비).
5. 합성과 역함수에서는 입력이 바뀌는 순서를 추적하세요. 반복 적용의 기록에서 합성 그래프와 이동 구간의 최솟값으로 확장하세요(5·7·12·14·18번 대비).
6. 넓이식을 양수 치환으로 바꾸고 부등식의 등호 조건까지 완성하는 서술 연습을 하세요. 구한 조건이 원래 정의역에서 가능한지 확인하세요(17번 대비).