반포고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

반포고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

반포고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 무리함수, 함수, 합성함수와역함수입니다. 경우의 수에서는 선택과 배열을, 함수에서는 식의 연산부터 그래프의 대칭과 역함수까지 다룹니다.

기본 공식을 알고 있는 것과 적용 조건을 구별하는 것이 함께 필요합니다. 순열조합에서는 포함 여부, 이웃하지 않는 조건, 순서 조건을 세는 과정으로 바꾸어야 합니다. 함수에서는 식을 정리한 뒤에도 원래의 정의역을 유지하고 그래프의 시작점과 점근선을 읽어야 합니다.

후반부는 서로 다른 개념을 연결하는 성격이 뚜렷합니다. 14번은 무리함수의 영역을 자연수 좌표의 개수로 바꾸고, 18번은 역함수의 대칭과 거리·최대최소를 연결합니다. 단원별 기본형을 익힌 뒤 조건이 결합된 문제에서 풀이 순서를 정하는 연습으로 확장하세요.

난이도 분포 — 보통 문항을 확보하고 후반 조건 해석에 대비

쉬움 문항은 1·2·5·15번입니다. 조건에 맞는 조합, 유리식의 정리, 순서쌍 세기, 무리식의 유리화처럼 기본 개념으로 접근할 수 있습니다. 특히 서술·단답형의 시작인 15번도 쉬움으로 분류되므로 객관식을 모두 마쳐야만 뒤쪽을 볼 필요는 없습니다.

보통 문항에서는 풀이 방법을 고르는 능력이 중요합니다. 7번의 색칠은 이웃 관계를 정리해야 하고, 8번의 자리 배치는 빈자리 조건과 학생의 순서를 분리해야 합니다. 9·11번에서는 계수를 모두 구하려 하기보다 점근선과 대칭 중심을 먼저 파악하면 계산의 방향이 분명해집니다.

어려움 문항은 12·14·17·18·19번입니다. 12번에서 구조 해석이 막혀도 보통으로 분류된 13번을 확인하고, 서술·단답형에서는 15·16번의 접근 가능성을 먼저 점검하세요. 이 난이도는 자동 분류 기준으로, 실제 응시자의 체감 난도나 문항별 성취를 직접 보여 주는 수치는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 후반 문항의 연결

가장 많이 나온 순열조합은 1·5·6·7·8·16·17번입니다. 선택, 순서쌍, 기호의 변형, 색칠, 자리 배치, 포함 여부에 따른 분류까지 형태가 다양합니다. 공식을 고르는 데서 끝내지 말고 각 경우가 겹치지 않는지와 모든 가능성을 포함하는지를 말로 설명해 보세요.

유리함수는 식의 사칙연산과 그래프 성질을 함께 다룹니다. 2번의 인수분해·약분에서 출발해 9·11번의 대칭 중심, 12번의 공통분모를 이용한 구조 파악, 19번의 역함수 관계로 이어집니다. 같은 단원 안에서도 계산 문제와 조건 해석 문제의 준비 방식이 다릅니다.

무리함수에서는 정의역·치역과 그래프 성질이 바탕입니다. 3·10번의 개념 구별과 15번의 유리화를 먼저 다지고, 14번의 영역 해석과 18번의 대칭·거리로 확장하세요. 함수 단원의 4번과 합성함수와역함수의 13번도 일대일대응과 합성 순서를 정확하게 이해해야 처리할 수 있습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수 감소와 함수 영역의 비중 변화

작년과 올해의 과목은 모두 수학(하)입니다. 총 문항은 22문항에서 19문항으로, 서술·단답형은 6문항에서 5문항으로 줄었습니다. 자동 분류 기준 어려움은 9문항에서 5문항으로 줄고 보통은 10문항으로 같습니다. 다만 이 분포만으로 실제 시험의 성적이나 체감 난도를 확정할 수는 없습니다.

가장 많은 단원은 두 해 모두 순열조합이지만 문항 수는 10문항에서 7문항으로 줄었습니다. 유리함수는 3문항에서 5문항으로, 무리함수는 4문항에서 5문항으로 늘었으며, 합성함수와역함수는 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 순열조합에 학습을 치우치기보다 유리·무리함수의 조건 해석을 충분히 준비할 필요가 있습니다.

작년의 어려움 문항은 객관식 8·9·10·11·14·15·16번과 서술·단답형 19·22번에 있었습니다. 올해는 객관식 12·14번과 서술·단답형 17~19번으로, 서술·단답형 끝부분에 연속해 배치되었습니다. 다음 시험을 준비할 때는 함수의 대칭과 역함수까지 연결해 풀고, 후반 풀이 시간을 남기는 연습을 병행하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 해설에서 확인되는 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인한 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 식을 계산하기 전에 경우의 분류 기준이나 변수 범위를 정해야 하므로, 풀이의 첫 줄에 적용 조건을 적는 연습이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 전 문항을 훑어 기본 개념으로 출발할 수 있는 문제를 확보하세요. 12번의 다항식 구조나 14번의 영역 세기에서 시간이 길어지면 표시하고 15·16번을 확인하는 운영이 좋습니다. 전체 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다, 막힌 문제를 넘기는 기준을 모의 풀이로 정하세요.

경우의 수에서는 계산 검토보다 분류 검토를 먼저 하세요. 1번은 한 명만 포함하는 조건, 5번은 양의 정수와 부등식의 경계, 8번은 양 끝의 틈, 17번은 같은 숫자의 중복 계산을 확인해야 합니다. 16번처럼 포함·미포함으로 나눈 이유를 설명할 수 있으면 복잡한 배열에서도 경우를 빠뜨릴 가능성이 줄어듭니다.

함수에서는 정의역과 변형 전 조건을 따로 표시하세요. 2번은 약분 전의 제한, 3·18번은 제곱 전의 부호, 10번은 점근선 양쪽 구간의 구별, 14번은 경계와 자연수 조건이 중요합니다. 마지막 검토에서는 긴 계산을 처음부터 반복하기보다 후보가 원래 조건을 만족하는지부터 대조하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 유리식의 인수분해·역수 변환과 무리식의 유리화를 먼저 복습하세요. 변형 전의 정의 조건과 소거 후 남는 항을 함께 적어 보세요(2·15번 대비).
2. 선택과 배열을 구별하고 포함·미포함으로 경우를 나누세요. 순열·조합 기호를 바꾸는 이유도 말로 설명해 보세요(1·5·6·16번 대비).
3. 색칠과 자리 배치에서 영향을 주는 대상을 먼저 정하세요. 이웃 관계와 틈을 그린 뒤, 반복 숫자가 있는 배열로 확장하세요(7·8·17번 대비).
4. 함수의 정의역·치역, 일대일대응, 합성 순서를 점검하세요. 각 개념의 조건을 간단한 그래프나 대응 그림으로 확인하세요(3·4·10·13번 대비).
5. 유리함수는 점근선과 대칭 중심이 보이는 형태로 정리하세요. 대칭인 입력의 함숫값과 역함수 관계를 차례로 연결하세요(9·11·19번 대비).
6. 공통분모를 만든 뒤 남는 인수의 구조를 설명하고, 그래프 영역은 가로 방향으로 나누어 세어 보세요. 치환을 쓸 때는 새 변수의 범위를 반드시 적으세요(12·14·18번 대비).