서울고등학교
2022년 1학년 1학기 중간고사

서울고 1학년 1학기 중간 수학(상)은 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 단원은 다항식, 항등식, 복소수, 이차방정식, 이차함수입니다. 다항식의 연산과 나머지정리를 바탕으로 근과 계수의 관계, 판별식, 그래프와 도형의 해석까지 이어집니다.

공식을 알고 있는지와 공식을 적용할 형태를 찾아내는지를 함께 확인하는 시험입니다. 다항식에서는 식을 묶거나 치환해 구조를 단순하게 만들고, 복소수에서는 거듭제곱의 반복을 분류 기준으로 사용합니다. 도형에서도 길이를 각각 구하기보다 합과 제곱합을 먼저 얻는 접근이 유효합니다.

서술·단답형은 곱셈공식의 전개 과정에서 시작해 도형, 중근 조건, 허근의 성질로 이어집니다. 따라서 후반을 모두 같은 방식의 계산 문제로 생각해서는 안 됩니다. 각 조건을 어떤 식으로 바꿀지 먼저 적고, 식을 변형한 근거와 후보를 제외하는 이유까지 정리하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중간에 등장하는 조건 문제와 후반의 연결 문제

자동 분류 기준 쉬움은 1·3·4·5·6·17번입니다. 나머지정리, 계수 비교, 판별식, 곱셈공식 등 출발점이 비교적 분명합니다. 이 구간에서는 개념을 정확히 적용해 계산 시간을 줄이는 것이 중요하며, 쉬움으로 분류되었다고 부호나 나눗셈의 몫 처리를 생략해서는 안 됩니다.

보통 문항은 2·7·9·11·12·14·16·18번입니다. 실수 조건을 나누거나 공통부분을 치환하고, 도형 조건을 식으로 옮기는 단계가 추가됩니다. 특히 16번은 접한다는 조건으로 얻은 후보가 실제 물줄기의 범위에 놓이는지 확인해야 하므로 판별식 계산만으로 끝나지 않습니다.

어려움 문항은 8번부터 등장하지만 뒤에 보통 문항이 다시 나옵니다. 번호가 커질수록 일괄적으로 어려워지는 배열이 아니므로 막힌 문제를 표시하고 넘어가는 운영이 필요합니다. 서술·단답형에서는 19~22번이 자동 분류 기준 어려움으로 이어져, 후반에 조건 해석과 설명을 위한 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 다항식의 비중과 근과 계수의 연결

다항식은 6·7·9·10·11·12·17·18번에 분포합니다. 나눗셈과 곱셈공식뿐 아니라 완전제곱식, 삼각형의 모양, 직육면체의 대각선까지 다룹니다. 다항식 단원의 학습량을 단순 전개 반복에만 쓰지 말고, 묶을 항을 찾고 필요한 대칭식을 선택하는 연습에 배분하세요.

항등식은 나머지정리의 기본형에서 인수정리를 이용한 다항식 구성과 중근 조건의 결합으로 이어집니다. 이차함수는 교점과 실근의 관계에서 접선과 넓이 조건으로 확장됩니다. 같은 단원 안에서도 식을 세우기 전 해석의 양이 달라지므로 기본형과 응용형을 연결해 복습하는 편이 좋습니다.

이차방정식의 8·19·22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 자연수의 성질, 도형의 길이, 허근에 대한 함수 조건처럼 겉모습은 다르지만 근의 합과 곱을 활용한다는 공통점이 있습니다. 복소수의 13·15번도 반복되는 값을 분류해 판단하므로 관계식을 먼저 찾는 능력이 중요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 가운데 조건을 연결하는 과정에 주목해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위를 뜻하지는 않습니다. 공통적으로 계산을 시작하기 전에 분류 기준이나 관계식을 잡아야 하며, 마지막에는 최초의 범위와 부호 조건으로 돌아와 확인해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 개념이 바로 연결되는 문항을 먼저 처리하세요. 8번의 자연수 후보 검토나 10번의 다항식 변형이 길어지면 표시하고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형에도 17·18번처럼 출발점이 분명한 문항이 있으므로 객관식을 모두 해결할 때까지 뒤쪽을 미루지 마세요.

서술·단답형에서는 계산에 앞서 핵심 관계를 짧게 적으세요. 19번은 길이의 합과 직각 관계, 20번은 교점 좌표의 합과 곱, 21번은 중근을 반영한 다항식의 형태가 출발점입니다. 연습할 때 식을 세우는 데 걸린 시간과 계산 시간을 구분해 기록하면 어느 단계에서 지체되는지 알 수 있습니다.

검토는 조건별로 진행하세요. 8번의 서로 다른 자연수 조건, 15번의 양의 실수 조건, 16번의 실제 접점 범위, 18번의 목표식 부호를 우선 살피세요. 22번은 근의 차를 이용하기 전에 서로 다른 근인지 확인해야 합니다. 계산을 처음부터 반복하기보다 빠진 조건이 없는지 확인하는 검토가 유효합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 곱셈공식과 나눗셈 항등식을 복습하세요. 치환과 괄호의 부호 처리를 안정시킨 뒤 완전제곱식으로 변형하는 연습을 하세요(6·7·9·10·17·18번 대비).
2. 나머지정리와 인수정리를 연결하세요. 함수값 조건을 인수 형태로 바꾸고, 입력이 이동하면 대입값이 어떻게 달라지는지 설명해 보세요(1·4·14·21번 대비).
3. 근과 계수의 관계를 합·곱·제곱합 순서로 정리하세요. 근을 직접 구하지 않고 필요한 식을 만드는 연습 뒤 자연수와 허근 조건을 결합하세요(3·8·22번 대비).
4. 복소수의 실수 조건과 거듭제곱 주기를 구별해 복습하세요. 주기를 표로 정리한 다음 범위 안의 지수와 순서쌍을 세는 연습으로 확장하세요(2·13·15번 대비).
5. 도형 조건을 대수식으로 번역하세요. 변의 길이, 모서리와 면, 중점과 원주각을 확인한 뒤 필요한 합과 곱을 찾아보세요(11·12·19번 대비).
6. 이차함수와 직선의 위치 관계를 스케치하세요. 교점의 유무, 접점의 실제 범위, 넓이 조건을 차례로 다루고 최종 후보를 원래 조건에 대조하세요(5·16·20번 대비).