서울고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

서울고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 집합, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 대응 관계를 읽는 문제와 그래프의 조건을 해석하는 문제, 조건에 맞는 대상을 세는 문제가 함께 출제되었습니다.

함수 문항에서는 정의역과 치역을 확인하는 기본형에서 출발해 반복 합성, 역함수의 대칭, 구간별 그래프로 확장됩니다. 경우의 수에서도 기호 계산만으로 끝나지 않고 포함·제외 조건, 빈 상자, 집합의 원소 배치, 인접한 칸의 관계를 구별해야 합니다.

같은 단원 안에서도 접근 방식이 달라집니다. 순열조합의 기호를 아는 것과 조건을 만족하는 배치를 세는 것은 별도로 연습해야 하며, 함수식을 계산하는 것과 합성의 구조를 읽는 것도 구별해야 합니다. 풀이 전에 무엇을 고정하고 무엇을 나눌지 적는 습관이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 조건 해석과 후반의 연속 부담

쉬움으로 분류된 2·3·4번은 유리함수의 기본 성질과 순열조합 기호를 다룹니다. 22번도 같은 구간이지만 공식의 유도와 활용을 서술하는 문항이므로, 단순 계산 문제처럼 결론만 적는 습관은 피해야 합니다. 자동 분류 기준의 난이도와 답안 작성량은 따로 살펴보세요.

보통인 1·5·7·12번은 공역에 들어가는 조건, 반복 규칙, 합성과 역함수, 포함·미포함 조건을 확인합니다. 이 문항들은 어려운 문제에 들어가기 전 기본 원칙을 점검하는 역할을 합니다. 특히 6번에서 막혀도 바로 뒤의 7번을 확인하고, 12번의 선택 조건을 먼저 정리해 볼 수 있습니다.

어려움 문항은 객관식 중반부터 이어지고 서술·단답형의 17~21번에도 배치되어 있습니다. 자동 분류 기준이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 대응을 여러 번 추적하거나 그래프의 경계를 다시 나누는 과정이 길어질 수 있어, 계산 전에 풀이 틀을 정하는 연습이 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 영역의 연결

순열조합은 기호의 뜻을 확인하는 3·4번에서 조건부 선택인 12번, 여사건과 중복 제거가 필요한 13번으로 이어집니다. 16번은 숫자를 고르는 단계와 나열하는 단계를 구별해야 하고, 21번은 인접 조건에 맞게 칸을 채우는 순서가 중요합니다. 문제마다 무엇을 서로 다른 경우로 볼지 먼저 정하세요.

함수 영역에서는 계산 규칙과 대응 구조가 연결됩니다. 5·17번은 입력을 바꾸는 규칙을 반복 적용하고, 6·10·20번은 일대일대응과 반복 합성의 제약을 이용합니다. 7번의 화살표 읽기를 확실히 한 뒤 순환이나 짝짓기 구조로 확장하면 조건을 무작정 대입하는 일을 줄일 수 있습니다.

무리함수의 9·11·15·19번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 교점 개수, 절댓값 그래프, 구간별 정의, 역함수의 대칭처럼 추가 해석이 붙습니다. 유리함수도 2번의 점근선 읽기에서 8번의 거리 최솟값으로 확장되므로, 기본 그래프와 도형 관계를 함께 연습하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 문항 수에서 달라진 난이도 구성

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수가 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 같지만 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 서술·단답형도 늘었으므로, 문항 수가 같다는 이유로 풀이 부담이 같을 것이라 예상하기는 어렵습니다.

작년에는 순열조합과 유리함수가 각각 6문항으로 가장 많았고, 올해는 순열조합이 7문항으로 가장 많습니다. 유리함수는 6문항에서 2문항으로 줄고 함수는 1문항에서 4문항으로 늘었습니다. 무리함수는 5문항에서 4문항으로, 합성함수와역함수는 4문항에서 4문항으로 구성되었으므로 단원별 준비 비중도 함께 조절하세요.

작년 어려움은 11번부터 등장했지만 올해는 6번부터 등장합니다. 작년 서술·단답형의 17·18·21번은 각각 쉬움 또는 보통이었고, 올해는 17~21번이 모두 어려움입니다. 반면 올해 22번은 쉬움이므로, 후반 번호를 일괄적으로 미루기보다 전체를 훑고 풀이 순서를 정하는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 주어진 표현을 그대로 계산하기 전에 순환, 구간 분할, 짝짓기로 바꾸어야 한다는 점입니다. 첫 풀이 줄에 구조를 적고 그다음에 계산을 시작해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 확인에서는 기본형과 접근 가능한 문항을 찾아 두세요. 6번의 대응 추론이 길어지면 표시하고 7번을 확인하고, 8~11번에서 시간이 많이 쓰여도 12번의 선택 조건을 살펴보세요. 마지막 22번까지 훑어 서술할 수 있는 공식을 먼저 확보하는 연습도 필요합니다.

서술·단답형에서는 풀이의 출발 근거를 짧게 남기세요. 17번은 입력을 줄이는 규칙과 적용 구간, 18번은 새 구간의 경계, 19번은 대칭 관계, 20번은 짝짓기로 세는 이유가 중요합니다. 제한 시간이 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위보다 연습 중 막힌 단계를 기록해 배분을 조절하세요.

검토할 때는 계산보다 조건 누락을 먼저 보세요. 9번은 치환 변수의 범위, 11번은 합성 가능한 입력, 15번은 경계점의 포함을 확인하세요. 경우의 수에서는 13번의 겹치는 제외 조건, 16번의 선택과 배열 구별, 21번의 추가 제약을 별도로 점검하면 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·공역·치역과 유리함수의 평행이동을 복습하세요. 함수가 정의되는 조건과 그래프에서 제외되는 값을 말로 설명해 보세요(1·2번 대비).
2. 순열과 조합을 선택과 나열의 차이로 정리하세요. 기호 계산 뒤 공식 유도까지 쓰고, 포함·미포함 조건을 먼저 반영하세요(3·4·12·22번 대비).
3. 함수의 반복 규칙은 입력의 변화와 출력의 배율을 나누어 기록하세요. 알려진 구간에 들어간 뒤 값을 복원하는 과정을 연습하세요(5·17번 대비).
4. 합성은 화살표와 구간표로 연습하세요. 기본 대응에서 순환 구조로 확장하고, 안쪽 함수의 출력으로 바깥 구간을 선택하세요(6·7·10·18번 대비).
5. 그래프의 교점 개수와 대칭을 함께 익히세요. 근호의 범위, 절댓값의 접힘, 구간 경계와 역함수의 대응을 먼저 표시하세요(8·9·11·15·19번 대비).
6. 경우의 수는 여사건·원소 배분·짝짓기·인접 조건으로 나누어 연습하세요. 각 풀이에서 중복이 생기는 이유와 제거하는 근거를 적어 보세요(13·14·16·20·21번 대비).