불곡고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

불곡고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

불곡고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이 시험의 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 치역을 확인하는 기본형에서 그래프의 위치 관계와 조건부 경우의 수까지 범위가 이어집니다.

함수 문항은 식을 대입하는 계산만으로 끝나지 않습니다. 합성 순서에 따라 값을 추적하거나, 구간별 식이 달라지는 지점을 찾아야 합니다. 유리함수와 무리함수에서는 점근선, 증가·감소, 역함수의 정의역을 먼저 파악하면 복잡한 계산을 시작할 기준이 생깁니다.

순열조합에서는 짝이 맞는 선택, 이웃하는 배열, 색칠, 점을 골라 만드는 도형, 물건 분배처럼 상황이 다양합니다. 공식을 고르는 데 앞서 무엇을 구별하며 어떤 경우를 제외할지 설명할 수 있어야 합니다. 풀이를 시작하기 전에 조건을 그림이나 대응표로 바꾸는 연습이 필요한 시험입니다.

난이도 분포 — 초반의 조건 해석과 후반 연속 문항

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1·2번입니다. 각각 치역과 합성함수·역함수의 함숫값을 다루므로, 정의역의 원소를 빠짐없이 대입하고 대응 방향을 읽는 기본기를 확인할 수 있습니다. 처음부터 공역 전체를 치역으로 보거나 합성 순서를 바꾸지 않도록 주의하세요.

보통 문항은 3·5~11·13·18번입니다. 이 구간에도 포함·배제, 반복 합성의 주기, 치역의 끝값 비교처럼 접근법을 선택해야 하는 문제가 있습니다. 보통이라는 분류만 보고 빨리 계산하려 하기보다, 사용할 성질을 짧게 적은 뒤 식을 정리하는 편이 안정적입니다.

어려움 문항은 4·12·14·15·16·17·19번입니다. 4번의 색칠 조건에서 막히더라도 뒤의 보통 문항을 이어서 살펴보세요. 후반에는 도형의 경우 세기와 함수 조건 추론이 이어지므로 한 문제에 머무는 시간이 길어지기 쉽습니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 개별 학생의 체감 난도와는 차이가 있을 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성·역함수의 비중

순열조합은 3·4·5·11·14·19번입니다. 선택과 배열의 기본 구분에 더해 색칠의 인접 조건, 판별식과 순열·조합 기호의 연결, 일직선 위의 점 제외, 분배 유형의 분류를 다룹니다. 같은 공식을 반복하기보다 조건을 세는 방식으로 바꾸는 연습을 우선하세요.

합성함수와역함수는 2·8·9·16·18번입니다. 대응 그림에서 값을 읽는 기본형부터 합성 그래프, 반복 적용의 주기, 일대일대응의 조건 추론으로 확장됩니다. 특히 8번은 안쪽 함수의 출력값으로 바깥 함수의 구간을 고르고, 18번은 역함수에 넣는 값이 어느 치역 구간에 속하는지 판단해야 합니다.

함수 단원에서는 12·13번이 함수의 개수를 다뤄 순열조합과 연결됩니다. 유리함수의 6·7번에서 익힌 점근선과 대칭성은 15번의 도형 해석으로 이어집니다. 무리함수는 10번의 치역 비교와 17번의 역함수·그래프 해석을 함께 연습해 기본 성질을 조건 판단에 활용해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건 처리 과정을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 먼저 대응표나 그래프로 표현해야 다음 계산이 정해집니다. 풀이를 복습할 때는 계산 결과보다 첫 표현을 어떻게 선택했는지, 어느 단계에서 원래 조건을 다시 확인했는지 설명해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음에는 전체 문항을 훑어 출발점이 보이는 문제부터 풀어 보세요. 4번은 앞부분에 있어도 색칠 구조를 정리하는 데 시간이 들 수 있으므로, 인접 관계가 바로 정리되지 않으면 표시하고 넘어가는 운영이 필요합니다. 14~17번에 도달하기 전에 기본 문항에서 쓴 시간을 점검하고, 서술·단답형 18번도 미리 확인하세요.

함수 문제의 검토 기준은 입력과 출력, 정의역과 치역의 구분입니다. 8번은 원래 입력이 아니라 안쪽 함수의 출력으로 구간을 고릅니다. 10번은 증가함수와 감소함수의 치역 끝값을 대응시키고, 17번은 제곱하기 전 양변의 부호를 확인하세요. 18번에서는 역함수를 다시 적용할 때 입력값이 바뀌므로 같은 구간의 식을 계속 쓰지 않아야 합니다.

경우의 수에서는 센 대상을 말로 다시 읽어 보세요. 3번은 추가로 짝이 맞는 선택이 생기지 않는지, 5번은 이웃 조건을 동시에 만족한 배열을 중복해서 더하지 않았는지 확인하세요. 14번은 한 직선 위의 점을 제외할 때 가로·세로 외의 방향도 점검해야 합니다. 19번은 물건의 구별 여부와 아무것도 받지 못하는 학생이 없다는 조건을 끝까지 유지하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 정의역·공역·치역과 일대일대응을 구별하세요. 작은 집합의 대응표를 직접 만들고 각 원소가 실제로 함숫값으로 나타나는지 확인하세요(1·12·13번 대비).
2. 합성은 안쪽부터 적용하고 역함수는 대응 방향을 거꾸로 읽는 연습을 하세요. 조건식에 입력을 대입해 정해지는 대응부터 표시하세요(2·16번 대비).
3. 구간별 함수는 구간 선택 기준을 먼저 적으세요. 출력값에 따른 합성 그래프, 반복 적용의 주기, 절댓값을 풀어 쓴 역함수 계산을 이어서 연습하세요(8·9·18번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 그래프를 정의역·치역·점근선·증감과 함께 정리하세요. 제한된 구간의 끝값 비교에서 역함수와 직선의 위치 관계로 확장하세요(6·7·10·15·17번 대비).
5. 선택과 배열을 구별하고 포함·배제와 곱의 법칙을 적용하세요. 순열·조합 기호가 방정식에 들어간 경우에는 기호 사이의 관계와 자연수 범위를 함께 확인하세요(3·5·11번 대비).
6. 복합적인 경우의 수는 분류 기준부터 말로 쓰세요. 색칠은 인접 관계, 도형은 제외할 일직선 배치, 분배는 여러 물건을 받는 학생의 수령 유형으로 정리하세요(4·14·19번 대비).