분당중앙고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

분당중앙고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

분당중앙고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본적인 대응 관계에서 출발해 그래프의 성질과 조건부 경우의 수까지 다룹니다.

함수 문항은 식에 값을 넣는 기본형에서 합성 순서, 역함수의 대칭성, 구간별 그래프로 확장됩니다. 특히 그래프를 읽은 정보를 다시 식이나 교점 조건으로 옮겨야 합니다. 식을 구했더라도 적용 구간과 치역을 놓치면 다음 단계에서 잘못된 후보를 남길 수 있습니다.

경우의 수 문항에서는 선택 조건을 먼저 해석해야 합니다. 교시별 수강 선택, 도형의 경계선 선택, 좌석의 이웃 관계, 숫자의 곱 조건처럼 세는 대상이 달라집니다. 같은 곱의 법칙을 쓰더라도 각 단계가 무엇을 결정하는지 설명할 수 있어야 안정적으로 풀 수 있습니다.

난이도 분포 — 후반에 이어지는 조건 해석

쉬움으로 분류된 1·3·6번은 합성함수의 대입, 조건에 따른 함숫값 계산, 무리함수의 시작점 해석을 다룹니다. 기본 문제에서도 합성 순서나 정의역을 확인하는 절차를 생략하지 마세요. 이 절차가 뒤의 복합 문항을 푸는 기초가 됩니다.

보통 문항은 초반과 11번에 배치되어 있습니다. 조합 기호를 정리하는 7번이나 도형을 세는 8번처럼 단순 계산 전에 적절한 표현을 고르는 문제가 포함됩니다. 10번에서 풀이가 길어져도 11번까지 확인한 뒤 다음 순서를 정하는 편이 좋습니다.

12~21번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 합성함수의 해 개수, 일대일함수의 개수, 좌석 배치, 구간별 함수 등 조건 검토가 이어집니다. 이는 자동 분류 결과이므로 실제 체감 난도를 확정하는 수치는 아니지만, 후반을 위한 검토 시간을 남겨야 한다는 학습상의 근거가 됩니다.

출제 단원 — 합성·역함수와 순열조합의 비중

합성함수와역함수는 대입만으로 끝나지 않습니다. 12번은 합성 순서에 따른 원상의 개수, 14번은 반복 합성, 16번은 역함수 그래프와 넓이, 21번은 도형에서 만든 함수의 합성을 다룹니다. 함숫값을 먼저 정하고 그 값을 만드는 입력을 찾는 방향을 익혀 두세요.

순열조합에서는 5·8번의 선택 구조를 바탕으로 17·18번의 좌석 조건과 20번의 숫자 조건을 준비할 수 있습니다. 조건에 맞는 대상을 고르는 단계와 서로 다른 대상을 배치하는 단계를 구별해야 합니다. 함수 단원의 13번도 대응값의 중복을 금지한 상태에서 경우를 세므로 이 학습과 연결됩니다.

유리함수와 무리함수는 그래프의 모양, 점근선, 정의역과 치역을 함께 공부해야 합니다. 10번은 거리의 최소화로, 15번은 구간별 성질 판단으로 이어집니다. 19번은 무리함수로 분류되어 있지만 유리함수 부분도 결합되어 있어 단원별 공식만 따로 외우는 방식으로는 접근이 어렵습니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답 감소와 합성·역함수 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 서술·단답형은 3문항에서 2문항으로 줄었지만 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 11문항으로 늘었습니다. 서술·단답형이 줄었다는 사실만으로 시험 부담도 줄었다고 해석하기는 어렵습니다.

순열조합은 9문항에서 6문항으로, 유리함수는 7문항에서 4문항으로 줄었습니다. 반면 합성함수와역함수는 1문항에서 6문항으로 늘었고, 함수는 1문항에서 2문항으로 늘었습니다. 무리함수는 3문항으로 같습니다. 겹치는 단원 안에서도 합성과 역함수 해석을 더 충분히 준비할 필요가 있습니다.

작년의 어려움은 11·13~18·21번이었고 올해는 10·12~21번입니다. 특히 작년 서술·단답형 19·20번은 보통이었지만 올해 서술·단답형 20·21번은 모두 어려움입니다. 다음 시험 대비에서는 선택형 후반과 서술형을 함께 연습하며, 조건 분류의 근거를 쓰는 훈련을 이어가세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표에 따른 순위가 아니라 조건 처리의 복잡성을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산 결과를 다음 단계에 넘기기 전에 허용 범위를 확인해야 합니다. 함수의 식 옆에 정의역과 출력 범위를 함께 적는 습관이 도움이 됩니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1·3·6번 같은 기본형과 접근 방법이 보이는 보통 문항을 먼저 처리하세요. 10번에서 최소화 식이 바로 잡히지 않으면 표시하고 11번을 확인하세요. 후반의 어려움 문항이 이어지므로, 한 문항에서 오래 머무르기 전에 전체 문제의 출발 조건을 살펴보는 연습이 필요합니다.

20·21번을 마지막에 처음 읽지 않도록 하세요. 20번은 숫자 선택과 배열을, 21번은 높이 변화와 합성 해석을 나누어 적으면 필요한 작업이 보입니다. 연습에서는 조건을 정리하는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하고, 풀이를 시작하지 못한 문제와 검산만 남은 문제를 구분하세요.

검토할 때는 7번의 자연수 범위, 10번의 등호 성립 가능성, 12·14번의 중간 출력 범위를 확인하세요. 15·19·21번은 구간 경계와 제외되는 입력이 중요합니다. 17·18·20번은 선택한 대상이 조건을 만족하는지와 같은 배치를 중복해서 세었는지를 차례로 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 입력·출력과 역함수의 대응을 복습하세요. 합성 순서를 화살표로 표시하고 조건으로 주어진 함숫값을 대응표에 옮겨 보세요(1·3·11번 대비).
2. 유리함수의 점근선과 무리함수의 시작점을 이용해 그래프를 그리세요. 절편, 정의역, 치역을 함께 기록하세요(2·4·6·9번 대비).
3. 합성함수의 해 개수와 반복 합성을 연습하세요. 바깥 함수의 조건부터 풀고, 이전 단계로 돌아갈 때 허용 범위를 확인하세요(12·14번 대비).
4. 경우의 수는 세는 대상을 먼저 쓰세요. 합의 법칙과 곱의 법칙, 조합의 정의 범위를 익힌 뒤 일대일함수의 개수로 확장하세요(5·7·8·13번 대비).
5. 좌석 조건과 배수 조건을 분류하는 연습을 하세요. 금지되는 좌석 쌍을 표시하거나 여사건을 쓰고, 선택 이후 배열을 별도로 처리하세요(17·18·20번 대비).
6. 그래프와 도형을 연결하는 문제를 마무리하세요. 거리의 최소화, 대칭에 따른 넓이, 구간별 교점 검토를 풀이 근거와 함께 정리하세요(10·15·16·19·21번 대비).