매탄고등학교
2022년 2학년 1학기 기말고사

매탄고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 이 시험에서 확인되는 출제 범위는 삼각함수의 성질과 그래프, 사인법칙·코사인법칙을 이용한 도형 해석, 등차·등비수열과 수열의 합, 귀납적 정의와 수학적 귀납법입니다. 삼각함수와 수열을 모두 다루므로 어느 한쪽의 계산만 익혀서는 전체에 대응하기 어렵습니다.

초반에는 일반항에 순서를 대입하거나 합의 기호를 분리하고 삼각형에 기본 법칙을 적용하는 문제가 이어집니다. 뒤로 갈수록 부분합이 작아지는 이유, 부등식이 항상 성립하는 조건, 그래프에서 같은 높이의 점을 세는 방법처럼 공식의 의미를 해석해야 합니다. 풀이의 길이보다 적절한 관찰을 먼저 찾는 연습이 중요합니다.

서술·단답형은 등차수열의 기본 성질에서 출발해 부분합으로 일반항을 복원하고 원에 내접한 도형을 해석하는 구성입니다. 객관식의 분석상 고난도 문항에만 집중하기보다, 익숙한 문제에서도 왜 그 식을 쓸 수 있는지 짧게 설명하는 능력을 확보하세요. 계산 결과와 풀이의 근거를 함께 정리해야 합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 객관식 후반의 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 1~9번과 17번입니다. 일반항과 합 공식, 삼각형의 변과 각의 대응을 정확히 알고 있는지 확인하는 구간입니다. 다만 5번의 첫째항 처리나 6번의 대소 조건처럼 계산 후 점검할 조건도 있어, 익숙하다는 이유로 검토를 생략하지 않아야 합니다.

10번부터는 부분합의 증감, 변형된 각의 삼각함수, 증명의 연결, 귀납 수열의 반복 구조를 해석합니다. 특히 11번에서 막히더라도 12~14번은 다른 접근을 요구하므로 차례대로 모두 해결하려고 오래 머무르지 마세요. 15·16번은 그래프와 도형의 규칙을 수열이나 합으로 옮기는 부담이 있습니다.

서술·단답형 17번은 쉬움, 18·19번은 보통으로 분류되어 있습니다. 뒤에 배치되었다고 모두 같은 부담으로 판단할 필요는 없습니다. 난이도는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수 없으므로, 연습에서는 계산 실수와 접근법을 찾지 못한 경우를 구별해 기록하세요.

출제 단원 — 귀납적 정의와 수열의 기본 성질을 연결

가장 많은 수학적귀납법 단원에는 증명뿐 아니라 부분합과 일반항의 관계, 등차수열의 귀납적 정의, 조건에 따라 바뀌는 점화식, 반복 도형이 함께 들어 있습니다. 단원명만 보고 증명 빈칸만 연습하면 대비가 좁아집니다. 5·8번에서 식의 뜻을 익힌 뒤 14·16번에서 반복 구조를 직접 표현하는 순서가 좋습니다.

등차등비수열과 수열의합은 일반항 계산, 중항 조건, 부분합의 최솟값, 분수꼴 항의 합으로 연결됩니다. 10번에서는 항의 부호가 부분합의 증감을 결정하고, 18번에서는 합의 차로 항을 복원한 뒤 소거되는 합을 만듭니다. 합 공식을 외우는 것과 항·부분합의 관계를 이해하는 것을 함께 점검하세요.

삼각함수 영역은 각 변환과 범위, 그래프, 도형 활용을 나누어 준비해야 합니다. 3·7번의 기본 법칙은 19번에서 원의 성질과 연결되고, 9번의 그래프 대칭은 15번의 주기별 교점 세기로 확장됩니다. 그래프의 모양을 기억하는 데서 그치지 말고 정의역과 경계가 계산에 어떤 영향을 주는지 설명해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표로 정한 순위가 아니라 자동 분류와 풀이 구조를 근거로 살펴본 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 계산 전 대상을 분류해야 한다는 데 있습니다. 11번은 변수의 범위, 15번은 높이의 종류, 16번은 길이와 넓이의 변화를 먼저 적으면 필요한 계산이 분명해집니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형을 안정적으로 처리하고, 접근이 늦어지는 문제는 표시해 두세요. 11번이나 15·16번에서 구조가 잡히지 않을 때는 서술·단답형까지 훑어 풀 수 있는 문항을 확보하는 편이 좋습니다. 17번은 자동 분류 기준 쉬움이므로 객관식 후반을 모두 마칠 때까지 미뤄 둘 이유가 없습니다.

서술·단답형에 남길 시간은 답안을 쓰는 연습으로 조절하세요. 17번은 조건식에서 일반항과 합으로 이어지는 흐름, 18번은 첫째항 확인과 소거되는 합의 시작·끝, 19번은 도형 관계를 사용하는 근거가 필요합니다. 연습할 때 계산에 걸린 시간과 근거를 문장으로 정리한 시간을 함께 확인하면 풀이가 끝나도 답안 작성을 못 하는 상황을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 5·18번의 첫째항, 6번의 대소 조건, 12번의 분모 조건을 확인하세요. 14번은 반복이 시작되는 항 번호, 15번은 세로 좌표 조건과 구간 끝점, 16번은 단계의 기준이 핵심입니다. 19번에서는 삼각형의 내각 범위와 내접사각형의 마주 보는 각 관계를 표시해 부호 오류를 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 일반항 대입과 등차·등비중항을 먼저 복습하세요. 순서에 맞는 조건식을 세우고 후보를 원래 조건에 대조하는 연습을 하세요(1·6·17번 대비).
2. 합의 기호와 거듭제곱의 합을 정리하세요. 이어서 부분합의 차로 일반항을 복원하고 첫째항을 따로 검사하세요(2·4·5·18번 대비).
3. 점화식을 표로 읽는 연습을 하세요. 일정한 차, 항의 부호 변화, 반복 시작 위치를 찾아 합이나 큰 항 번호로 연결하세요(8·10·14번 대비).
4. 삼각함수의 각 변환과 치환 범위를 복습하세요. 식을 줄이기 전에 변수의 범위와 분모 조건을 적고 그래프로 확인하세요(11·12번 대비).
5. 삼각함수 그래프는 주기와 대칭에서 출발해 높이별 교점 세기로 확장하세요. 극값과 영점, 구간 끝점의 처리 이유를 설명하세요(9·15번 대비).
6. 사인법칙·코사인법칙을 원의 성질과 연결하고, 귀납 증명과 반복 도형도 별도로 연습하세요. 각·변의 대응과 단계별 변화의 근거를 문장으로 남기세요(3·7·13·16·19번 대비).