매탄고등학교
2024년 2학년 2학기 중간고사

매탄고 2학년 수학II 중간고사는 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있는 학교입니다. 이 회차의 등록 문항은 함수의 극한과 연속, 미분계수와 도함수, 접선에 관한 내용을 다룹니다. 극한의 기본 계산에서 출발해 연속 조건과 미분계수의 정의를 함께 해석하는 방향으로 이어집니다.

초반에는 미분 공식, 유리함수의 극한, 그래프 읽기처럼 풀이의 출발점이 비교적 분명한 문제가 배치되어 있습니다. 하지만 8번에서는 극한에 관한 명제의 조건을 따지므로, 번호 순서만으로 모든 문항의 풀이 시간을 비슷하게 잡으면 곤란합니다.

후반의 특징은 계산량만이 아니라 판단해야 할 조건이 늘어난다는 점입니다. 함수의 역수가 연속이려면 원래 함수가 어디에서도 영이 되지 않아야 하고, 열린 경계에서 가까워지는 값은 최솟값이 아닐 수 있습니다. 식을 정리한 뒤에도 정의역과 값의 포함 여부를 다시 확인해야 합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 판단

난이도는 자동 분류 기준입니다. 쉬움으로 분류된 1~6번도 확인할 조건이 서로 다릅니다. 3번은 좌우에서 다가가는 방향과 채워진 점을 구별해야 하고, 6번은 조각함수의 연속 조건을 먼저 확보한 뒤 좌우 미분계수를 비교해야 합니다.

보통 문항은 기본 개념을 다른 표현으로 옮기는 능력을 요구합니다. 7번은 무리식의 유리화, 9번은 부호 변화와 사잇값 정리, 13번은 평균변화율이 가질 수 있는 범위가 중심입니다. 서술·단답인 18번에서는 변형 과정을 읽히게 쓰는 연습도 필요합니다.

어려움 문항은 끝에만 몰려 있지 않습니다. 8번의 명제 판단, 12번의 나머지와 미분계수 연결 뒤에 14~17번이 이어집니다. 이 구간에서는 조건을 식으로 옮기는 데 시간이 걸릴 수 있으므로, 첫 접근이 잡히지 않는 문제를 표시하고 뒤의 서술·단답까지 확인하는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 극한을 바탕으로 연속과 미분 연결

가장 많은 단원은 함수의극한입니다. 기본적인 최고차항 비교와 그래프 해석뿐 아니라, 함수 사이의 비를 정리하는 문제와 다항함수의 형태를 결정하는 문제까지 포함됩니다. 같은 극한 단원이어도 대입, 유리화, 차수 비교 중 어떤 도구를 먼저 써야 하는지 가려야 합니다.

함수의연속과 미분계수와도함수는 문항 수가 같습니다. 연속에서는 분모가 영이 되는 지점, 조각의 경계, 구간 끝의 포함 여부를 점검하고, 미분에서는 차분몫의 기준점과 분모의 방향을 살펴야 합니다. 도함수의활용은 11번이지만 접선의 기울기라는 해석은 15번을 이해할 때도 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 연속 비중과 서술·단답의 변화

작년과 올해는 모두 수학II이며 총 문항 수는 같습니다. 올해는 서술·단답이 추가되었고, 자동 분류 기준으로 쉬움과 보통은 각각 줄고 어려움은 늘었습니다. 분류상 어려운 문제의 비중과 풀이 과정을 작성해야 하는 부담을 함께 고려해야 합니다.

함수의극한은 작년 6문항에서 올해 7문항, 함수의연속은 4문항에서 6문항으로 늘었습니다. 미분계수와도함수는 6문항으로 같고, 도함수의활용은 4문항에서 1문항으로 줄었습니다. 올해 자료를 바탕으로 준비한다면 극한 계산과 연속 조건을 충분히 다진 뒤 미분계수와 연결하는 순서가 적절합니다.

작년의 어려움은 14번과 16~20번에 있었지만, 올해는 8번과 12번에서도 나타납니다. 후반 대비에만 시간을 쓰지 말고 중간에 개념 판단 문제가 나왔을 때 풀이를 보류하는 기준도 연습하세요. 서술·단답은 계산 결과와 함께 변형의 근거를 설명하는 방식으로 준비해야 합니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움 중에서 풀이 단계의 연결을 살펴볼 가치가 큰 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 한 조건에서 얻은 정보를 다음 조건에 넘기는 구조이므로, 함수의 값에 관한 조건인지 미분계수에 관한 조건인지 구별해 적어 두면 풀이를 점검하기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

처음 풀 때는 기본 계산이 분명한 문제부터 마무리하고, 8번처럼 명제의 참거짓을 따지는 문제에서 막히면 표시해 두세요. 후반에 어려움 문항이 이어지므로 한 문제를 오래 붙들기보다 전체 문항을 확인하는 것이 좋습니다. 18번은 자동 분류 기준 보통인 서술·단답이므로 작성 시간을 남겨 두세요.

조건 점검은 유형별로 달라야 합니다. 6번은 연속과 좌우 미분계수의 일치, 13번은 서로 다른 두 점이라는 제한, 16번은 구간 전체에서 분모가 영이 되지 않는 조건이 핵심입니다. 식을 간단히 만들었다고 원래의 정의역 제한까지 사라지는 것은 아닙니다.

마지막 검토에서는 그래프의 빈 점과 채워진 점, 열린 구간과 닫힌 구간을 먼저 보세요. 특히 17번과 19번은 어떤 값에 한없이 가까워진다는 사실만으로 최댓값이나 최솟값의 존재를 결론 내릴 수 없습니다. 서술에서는 유리화·통분을 한 이유와 극한을 취할 수 있는 형태가 되었음을 드러내세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 1·2·3번으로 미분 공식과 극한의 기본 계산, 그래프의 좌극한·우극한·함숫값을 빠르게 구별하는 연습부터 하세요.
2. 4·5·6·9번으로 연속의 정의, 최대최소 정리와 사잇값 정리의 적용 조건을 정리하세요. 정리를 쓸 수 있는 구간을 먼저 적어 보세요.
3. 7·10·18번으로 유리화·통분·함수의 비를 이용한 극한 변형을 연습하고, 변형 이유를 문장으로 설명하세요.
4. 8·14번으로 개념 명제를 판별하세요. 극한의 성질을 거꾸로 적용해도 되는지, 차분몫의 기준값이 맞는지 확인하세요.
5. 11·12·13·15번으로 접선, 나머지 항등식, 평균변화율을 미분계수와 연결하세요. 부호와 끝값 포함 여부를 따로 검토하세요.
6. 16·17·19번으로 조각함수와 역수함수의 조건을 정리하고, 구간별 값의 범위를 그려 최댓값·최솟값의 실제 존재를 판별하세요.
7. 20번은 극한 조건마다 얻는 정보를 차수·최고차항·함숫값으로 나누어 적은 뒤 합치세요. 마지막에는 남은 조건에 맞는지도 되짚으세요.