매탄고등학교
2023년 2학년 1학기 기말고사

매탄고 2학년 1학기 기말 수학I은 어떤 시험인가

매탄고등학교는 경기 수원시에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 범위는 등차등비수열, 수열의합, 수학적귀납법, 삼각함수, 삼각함수그래프, 삼각함수활용입니다. 수열의 일반항과 합, 귀납적 정의를 읽는 능력에 삼각함수의 식·그래프·도형 해석을 함께 요구합니다.

초반에는 공식의 적용 대상을 정확히 고르는 것이 중요합니다. 등차수열에서는 항 번호의 차이로 공차를 구하고, 삼각형에서는 주어진 각의 대변을 확인한 뒤 사인법칙이나 넓이 공식을 적용합니다. 기본형이라도 항의 개수나 변과 각의 대응을 잘못 읽으면 계산 전체가 어긋납니다.

후반은 개별 값을 끝까지 구하기보다 구조를 이용해 계산을 줄이는 성격입니다. 삼각방정식의 해의 합에서는 대칭을, 주기적인 수열에서는 반복 구간을 먼저 찾습니다. 마지막 문항은 접선으로 도형을 정하고 격자점을 센 뒤 합을 구하므로, 단원 이름만 보고 단순한 합 공식 문제로 받아들이지 않는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반의 구조 해석

자동 분류 기준 쉬움에 해당하는 1~9번에서는 일반항, 합의 기호, 삼각형의 넓이, 사인법칙, 그래프의 진폭과 주기 등을 확인합니다. 8번처럼 부분합의 최댓값을 묻는 문항은 합 공식을 바로 전개하기보다 항의 부호가 바뀌는 곳을 살피면 접근이 간결해집니다.

자동 분류 기준 보통인 10·11·12·13·15번은 익숙한 공식을 다른 표현으로 바꾸는 단계가 필요합니다. 각의 관계로 항을 짝짓거나, 합과 일반항의 관계를 빼서 점화 관계를 얻는 방식입니다. 14번이 막히더라도 15번의 평행이동과 대입은 별도로 확인해 볼 만합니다.

자동 분류 기준 어려움인 후반 문항에서는 출발 조건을 정리하는 시간이 중요합니다. 해의 개수를 주기와 연결하거나, 외심의 위치로 각을 구하거나, 정수 좌표의 범위를 합으로 표현해야 합니다. 이 분류가 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 것은 아니므로, 자신의 오답은 계산 실수와 조건 해석 실패로 나누어 점검하세요.

출제 단원 — 수열의 기본기와 삼각함수의 연결

등차등비수열은 기본형을 안정적으로 처리하는 연습에 적합합니다. 일반항을 정하는 것에서 출발해 부분합의 증감, 변형한 수열의 합으로 이어집니다. 수열의합은 합의 기호의 성질과 부분분수에 의한 소거를 다루며, 20번에서는 좌표 도형을 통해 합할 대상을 직접 만들어야 합니다.

삼각함수활용은 기본 넓이와 사인법칙에서 코사인법칙, 외접원과 외심의 관계로 확장됩니다. 삼각함수그래프는 진폭·주기·평행이동을 바탕으로 방정식의 해의 개수와 합을 묻습니다. 그래프를 정확히 스케치하고 해를 대칭인 쌍으로 묶는 연습을 함께 하세요.

수학적귀납법으로 분류된 7·13·17번은 귀납적으로 정의된 수열의 해석이 중심입니다. 점화식을 읽는 일과 명제를 귀납법으로 증명하는 일을 혼동하지 말고, 실제 문항의 정의 방식에 맞춰 준비해야 합니다. 초기항을 확인한 뒤 연속한 관계식을 곱하거나 빼고, 반복되는 구간을 찾는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 객관식 구성과 후반 문항의 변화

작년과 올해는 모두 수학I입니다. 작년에는 17~19번이 서술·단답형이었으나 올해는 모든 문항이 객관식입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항 수는 늘었으므로, 서술·단답형이 없다는 사실만으로 풀이 부담이 가벼워졌다고 판단하기는 어렵습니다.

작년에는 수학적귀납법이 가장 많았고 올해는 등차등비수열·삼각함수활용·삼각함수그래프가 공동으로 가장 많습니다. 수학적귀납법은 5문항에서 3문항으로 줄고 삼각함수그래프는 2문항에서 4문항으로 늘었습니다. 그래프의 주기와 대칭을 실제 해의 개수 및 합에 적용하는 연습을 보강할 만합니다.

작년의 자동 분류 기준 어려움은 11·15·16번이었고, 올해는 14번과 16~20번입니다. 올해는 마지막 구간까지 조건 해석이 이어지는 배치입니다. 다음 시험 준비에서는 기본형의 정확도를 유지하면서 후반 그래프와 도형 문제를 시간 안에 시작하는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 해설에서 확인되는 조건 연결을 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 도형이나 그래프를 계산 가능한 관계로 옮기는 과정이 핵심입니다. 식을 전개하기 전에 보조선을 어디에 긋고 어떤 구간을 셀지 정하면 풀이의 방향을 잡기 쉽습니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~9번의 기본형을 정확히 처리하고, 이후에는 접근이 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 14번에서 부등식 정리가 길어지면 표시하고 15번을 확인할 수 있습니다. 후반 문항을 읽을 시간을 남기려면 막힌 식을 반복해서 전개하기보다 필요한 개념과 아직 얻지 못한 조건을 짧게 기록해 두세요.

16·19번은 해를 하나씩 계산하기 전에 주기와 대칭축을 그려 보세요. 정의역의 양 끝이 포함되는지, 대칭축 위의 점 자체가 해인지 확인해야 해의 개수와 합을 일관되게 셀 수 있습니다. 17번은 반복 주기의 마지막 항을 다음 주기의 첫 항과 혼동하지 않도록 반복 단위를 표로 적어 두는 편이 좋습니다.

검토할 때는 원래 조건으로 돌아가세요. 2·13번의 양수 조건, 12번의 내각 범위, 14번의 엄격한 부등식, 20번의 경계 위 격자점이 주요 점검 대상입니다. 풀이를 전부 다시 하기보다 제외할 후보와 포함할 끝점을 확인하면 남은 시간을 효율적으로 쓸 수 있습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 등차·등비수열의 일반항과 합을 복습하세요. 항 번호의 차이, 공비의 부호, 항의 부호에 따른 부분합 증감을 말로 설명해 보세요(1·2·8·9번 대비).
2. 합의 기호를 분리하고 거듭제곱의 합과 부분분수를 구별해 연습하세요. 상수항의 반복 횟수와 소거 뒤 남는 끝항을 표시하세요(3·11번 대비).
3. 귀납적으로 정의된 수열은 초기항과 적용 범위를 먼저 적으세요. 관계식의 곱과 차, 반복 단위의 확인을 차례로 연습하세요(7·13·17번 대비).
4. 삼각함수의 기본 관계와 판별식을 연결하세요. 각의 범위를 고정한 뒤 식의 변형과 부등식의 경계를 확인하세요(10·14번 대비).
5. 진폭·주기·평행이동을 복습한 뒤 교점과 해의 합으로 확장하세요. 치환 전후 정의역과 좌표 변환을 나란히 기록하세요(6·15·16·19번 대비).
6. 사인법칙·코사인법칙·넓이 공식을 주어진 조건에 맞게 선택하세요. 외접원의 반지름과 외심의 위치를 표시하는 연습을 더하세요(4·5·12·18번 대비).
7. 좌표 도형에서 정수점을 세어 합으로 나타내는 연습을 하세요. 접선의 조건으로 경계를 정하고 작은 사례로 계수 방식을 검증하세요(20번 대비).