양정고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

양정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합, 집합입니다. 대응 관계와 그래프 해석에 경우의 수가 함께 배치된 시험입니다.

초반에는 조합 기호, 점근선, 치역처럼 개념을 정확히 읽으면 접근할 수 있는 문제가 나옵니다. 이후에는 함수가 주어진 공역 안에서 정의되는 조건, 역함수가 존재하기 위한 치역의 연결, 무리함수와 직선의 위치 관계로 확장됩니다. 공식 암기에서 조건 해석으로 넘어가는 연습이 필요합니다.

경우의 수에서도 나열과 분배를 같은 방식으로 처리할 수 없습니다. 물건의 구별 여부, 자리의 순서, 자연수의 범위가 각각 다른 분류 기준을 만듭니다. 풀이를 시작할 때 그래프를 그릴지, 대응표를 만들지, 경우를 나눌지 결정하는 능력이 중요합니다.

난이도 분포 — 초반 기본형에서 중후반 조건 해석으로

쉬움은 1~5번에 모여 있습니다. 서로 이웃하지 않는 배열이나 같은 함수의 조건도 포함되므로, 단순 계산이라는 이유로 조건 확인을 생략해서는 안 됩니다. 초반에 필요한 계산을 간결하게 끝내는 것이 뒤의 그래프 문항을 검토할 시간을 확보하는 방법입니다.

보통은 6~9번과 15·20번입니다. 역함수의 변형, 집합의 영역별 원소 배정, 구간에서의 최솟값 등 풀이 방향을 먼저 정해야 하는 내용입니다. 특히 15번과 20번은 뒤쪽에 있어도 접근할 수 있으므로 앞 문항의 난도에 끌려 함께 미루지 마세요.

어려움은 10~14번에서 이어지고 16~19번에 다시 모입니다. 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감과 일치한다고 단정할 수는 없습니다. 다만 정의역과 치역, 대칭성, 교점 조건처럼 여러 정보를 한 그림이나 표로 통합해야 하는 문항이 중후반에 놓여 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 무리함수의 조건 해석

가장 많은 순열조합은 1·4·12·15·17번입니다. 기호 계산에서 이웃하지 않는 배열, 분배, 크기순 나열, 배수 조건을 갖는 자연수 세기까지 유형이 다양합니다. 공식을 많이 외우는 것보다 무엇을 먼저 선택하면 남은 선택이 정해지는지를 설명하는 연습이 효과적입니다.

함수와 무리함수는 각각 4문항이지만 요구하는 사고는 다릅니다. 함수는 대응 관계와 일대일성, 조건을 만족하는 함수의 개수가 중심입니다. 무리함수는 구간의 최솟값을 다루는 8번 이후 사분면, 합성된 그래프, 직선과의 만남으로 확장되며 10·18·19번이 어려움으로 분류됩니다.

유리함수는 점근선을 읽는 2번에서 출발해 치역을 연결하는 11번과 대칭성·범위 조건을 함께 보는 16번으로 이어집니다. 합성함수와역함수의 13·14번도 계산보다 입력의 이동과 대응의 제약이 중요합니다. 집합의 7번은 벤다이어그램을 경우의 수의 분류 도구로 활용하는 문항입니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 문항의 시작과 무리함수 비중 변화

작년과 올해는 같은 수학(하) 시험이며 총 문항 수와 서술·단답형 배치는 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움과 보통이 줄고 어려움이 늘었습니다. 어려움의 시작도 작년 12번에서 올해 10번으로 앞당겨져, 중간 구간부터 조건 해석에 쓸 시간을 확보해야 하는 구성입니다.

순열조합은 가장 많은 단원이라는 점이 유지되지만 작년 6문항에서 올해 5문항으로 줄었습니다. 무리함수는 3문항에서 4문항으로 늘고, 합성함수와역함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 함수와 유리함수의 문항 수는 같으며 올해는 집합도 출제되었습니다.

작년 서술·단답형의 어려움인 19번은 합성함수와역함수였으나 올해는 무리함수입니다. 어려움이 놓이는 단원까지 고정해 준비하기보다, 대응의 조건을 정리하는 연습과 그래프의 정의역·치역·끝점을 확인하는 연습을 함께 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인한 난도 순위가 아니라 조건을 연결하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 한 조건을 처리한 뒤 다른 조건으로 다시 범위를 제한해야 합니다. 중간 결과마다 적용한 조건을 적고 마지막에 빠진 조건이 없는지 확인하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 초반 개념형을 처리한 뒤 전체 문항의 접근 가능성을 확인하세요. 10~14번에서 그래프나 대응표가 정리되지 않으면 표시해 두고 15번과 20번도 살펴보는 운영이 좋습니다. 어려움 문항을 번호순으로 모두 해결한 뒤 서술·단답형으로 넘어가려 하면 풀 수 있는 문제를 늦게 볼 수 있습니다.

함수 문항은 계산 전 작은 그림을 남기세요. 8번은 최솟값을 확인하는 구간과 전체 정의 구간, 11번은 구간별 치역, 13번은 합성 전후의 구간 경계를 적는 것이 좋습니다. 19번에서는 좌표축 위의 점을 사분면 내부에 포함시키지 않도록 끝점 표시를 풀이와 함께 남기세요.

경우의 수 문항은 검토 시간을 단순 재계산에만 쓰지 마세요. 12번은 분배하는 물건의 구별 여부, 15번은 같은 숫자의 중복 계산, 17번은 엄격한 대소 관계가 핵심 점검 대상입니다. 20번은 소문항마다 조건을 새로 확인하고, 서로 다른 입력의 출력은 순서가 있는 대응이라는 점을 유지하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 조합 기호, 점근선, 치역, 같은 함수의 뜻을 먼저 정리하세요. 개념을 적용하는 근거를 짧게 말한 뒤 계산하는 연습을 하세요(1·2·3·5번 대비).
2. 배열과 분배는 무엇을 먼저 정할지 비교하며 풀어 보세요. 빈자리 활용과 물건 묶음에 따른 분류를 구별하세요(4·7·12·15번 대비).
3. 역함수와 일대일성을 대응표와 치역 그림으로 복습하세요. 변환의 역순, 공역 포함 조건, 출력의 중복을 각각 점검하세요(6·9·11·14번 대비).
4. 무리함수는 정의역과 시작점을 먼저 표시하세요. 계수 부호에 따른 방향과 구간의 끝점에서 최댓값·최솟값이 정해지는 이유를 설명하세요(8·10·19번 대비).
5. 합성과 그래프 변환을 연습하세요. 안쪽 출력의 범위로 구간을 다시 나누고, 유리함수의 대칭성과 합성된 무리함수의 양쪽 가지를 확인하세요(13·16·18번 대비).
6. 자연수와 함수의 개수는 조건별 분류표로 마무리하세요. 배수 조건과 범위를 함께 기록하고, 입력을 묶어 세는 경우 독립적으로 선택할 수 있는지 확인하세요(17·20번 대비).