양정고등학교
2022년 1학년 2학기 중간고사

양정고 1학년 2학기 중간 수학(하)는 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 제공 자료의 출제 단원은 집합, 명제, 함수, 합성함수와역함수, 절대부등식입니다. 집합의 연산에서 출발해 조건의 참·거짓, 함수의 대응 관계, 부등식의 증명으로 이어집니다.

초반에는 소수와 약수, 존재를 나타내는 명제, 차집합 등 정의를 정확히 읽으면 접근할 수 있는 문제가 있습니다. 이후에는 명제의 부정을 이차함수의 조건으로 바꾸거나, 집합 연산을 포함 관계로 해석해야 합니다. 개념을 알고 있다는 것과 그 개념을 문제의 조건으로 표현할 수 있다는 것을 함께 확인하는 구성입니다.

후반에서는 유한한 정의역의 일대일함수, 함수에 주어진 부등식, 반복 합성에 따른 치역 변화가 등장합니다. 서술·단답형은 부등식의 성립뿐 아니라 등호 조건과 정의역 조건을 설명해야 합니다. 풀이를 시작할 때 사용할 성질을 적고, 끝에서는 그 성질의 적용 조건으로 돌아오는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 객관식 후반에 집중된 조건 해석

자동 분류 기준 쉬움 문항은 초반에 주로 놓여 있습니다. 다만 5번은 합성 순서와 구간별 정의를 함께 읽어야 하고, 7번은 명제의 방향을 구별해야 합니다. 쉬운 문제에서도 입력값을 잘못 넣거나 역과 대우를 혼동하면 실수가 생기므로, 짧게 풀되 판단 근거를 생략하지 마세요.

보통 구간의 3·9번은 각각 명제의 부정과 집합의 포함 관계를 식으로 바꾸는 문제가 중심입니다. 17번은 부등식으로 얻은 하한이 실제 최솟값인지 검토하고, 19번은 같은 함수가 되도록 하는 정의역을 따집니다. 단순 계산보다 조건을 해석하는 과정에 시간을 써야 합니다.

10번부터 자동 분류 기준 어려움 문항이 나타나며 12~16번에 이어집니다. 반면 18번은 쉬움으로 분류된 증명 문항이므로 객관식 후반에서 막혔다고 서술형 전체를 미룰 필요는 없습니다. 이 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니라 풀이 계획을 세울 때 참고할 기준입니다.

출제 단원 — 집합과 명제에서 함수 조건으로 확장

집합은 차집합의 원소 확인, 선호도 조사에서 교집합의 범위, 부등식으로 정의된 집합의 포함 관계까지 다룹니다. 12번에서는 연속된 홀수의 대칭 구조와 자연수 조건을 연결합니다. 다만 15번은 등록 단원이 집합인 반면 제공된 해설에는 원주각과 원의 위치 관계가 나타납니다. 표는 등록 분류를 따르되 이 문항의 실제 요구를 집합 연산 문제로 단정하지 않습니다.

명제에서는 ‘모든’과 ‘어떤’, 대우와 필요충분조건을 구별해야 합니다. 3·10번은 논리 조건을 이차함수의 그래프와 연결하므로 판별식만 기계적으로 적용해서는 부족합니다. 함수 단원 역시 대응 그림을 읽는 8번에서 출발해 일대일성의 조건과 함수의 동일성을 따지는 문제로 확장됩니다.

합성함수와역함수로 분류된 문항은 제공 내용상 합성의 순서, 반복 합성, 합성함수의 치역 해석이 핵심입니다. 단원 이름만 보고 역함수 계산에 준비를 한정하지 마세요. 절대부등식은 서술·단답형에 배치되어 있으며, 양수 조건과 제곱 비교의 정당성, 등호가 실제로 성립하는지를 설명하는 연습이 필요합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 정의역이나 치역의 범위를 먼저 확정해야 계산과 경우 세기가 정리되므로, 식을 전개하기 전에 입력과 출력의 범위를 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 정의와 기본 성질로 접근할 수 있는 문항부터 처리하세요. 10번에서 경우 나누기가 길어지면 표시하고 11번을 확인하고, 12~16번에 오래 머무르기 전에 서술·단답형도 살펴보세요. 특히 18번은 익숙한 증명 흐름을 정확히 쓰는 문제이므로 후반 객관식을 모두 끝낼 때까지 남겨 두지 않는 운영을 연습하세요.

논리 표현과 경계 조건은 검토 시간을 따로 확보해야 합니다. 3번은 명제의 부정에서 등호 포함 여부, 9번은 구간 끝점, 10번은 제한된 범위 안에서의 최솟값 위치가 중요합니다. 12번은 합 조건을 만족하는 후보가 나와도 가장 작은 원소의 자연수 조건을 다시 확인해야 합니다.

서술형은 계산 결과보다 근거의 연결을 점검하세요. 17번에서는 여러 등호 조건이 동시에 성립하는지, 18번에서는 제곱을 비교해도 되는지를 적어야 합니다. 19번은 정의역의 모든 원소에 대한 일치 조건과 제외 조건을 확인하고, 20번은 치역의 끝값이 실제로 달성되는지와 그래프의 정의역 경계를 검토하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 명제의 참·거짓, 존재와 전칭, 부정을 먼저 정리하세요. 대우와 역을 진리집합 그림으로 구별한 뒤 이차부등식 조건으로 확장하세요(1·2·3·7·10번 대비).
2. 집합 연산을 벤 다이어그램과 포함 관계로 번역하세요. 원소 수 문제에서는 가능한 상한과 하한을 구한 뒤 실제로 구성 가능한지 확인하세요(4·6·9·11번 대비).
3. 연속된 수들의 합을 가운데 원소와 원소 수로 표현하세요. 약수 조건으로 후보를 좁히고 가장 작은 원소의 범위를 점검하는 연습을 하세요(12번 대비).
4. 함수의 정의와 일대일성, 같은 함수의 조건을 구분하세요. 유한한 정의역에서는 입력을 직접 비교하고 함수의 일치 조건을 부분집합 선택으로 바꾸세요(8·13·19번 대비).
5. 함수에 대한 조건식은 특수한 입력과 변수의 치환으로 정리하세요. 강한 성질을 결론 내리기 전 단순한 함수가 반례가 되는지도 확인하세요(14번 대비).
6. 합성은 안쪽 입력부터 추적하고 반복 합성은 치역의 변화로 정리하세요. 구간별 정의와 치환된 변수의 범위를 표시하는 습관을 들이세요(5·16·20번 대비).
7. 부등식 증명에서는 적용 조건과 등호 성립 조건을 함께 쓰세요. 하한을 구하는 과정과 그 하한이 실제로 달성됨을 보이는 과정을 구분해 설명하세요(17·18번 대비).