영동일고등학교
2024년 1학년 2학기 기말고사

영동일고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

영동일고등학교는 서울 송파구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 그래프의 이동과 대응의 기본 성질에서 출발해 교점 개수와 조건부 경우의 수까지 다룹니다.

함수 영역은 공식을 대입하는 능력만으로 해결하기 어렵습니다. 정의역을 제한했을 때 일대일성이 성립하는지, 구간별 치역이 겹치거나 비는지, 직선과의 교점이 경계에서 어떻게 바뀌는지를 살펴야 합니다. 반복 합성 조건을 대응의 순환으로 읽는 문항도 포함되어 있습니다.

순열조합에서는 전체에서 제외할 경우를 빼는 기본형과 자리 배치, 물건 분배가 함께 나옵니다. 대상을 구별하는지, 조건을 만족시키는 경우를 어떻게 나눌지 먼저 결정하는 습관이 중요합니다. 풀이의 길이보다 분류의 근거를 분명하게 쓰는 방향으로 준비하세요.

난이도 분포 — 초반 기본형과 후반 조건 해석

쉬움은 1~7번과 9·19번입니다. 그래프의 시작점, 조합의 성질, 합성 순서처럼 핵심 개념이 분명한 문제들이지만, 서로 다른 주사위의 순서나 묶음 안의 배열을 놓치면 계산이 달라집니다. 기본형에서는 조건을 짧게 표시한 뒤 계산을 진행하세요.

보통은 8·10·11·13·20·22번입니다. 이동 전후의 그래프 중심, 음이 아닌 치환 변수, 도형을 포함하는 삼각형의 선택 범위 등 조건을 적절한 식으로 바꾸는 단계가 필요합니다. 특히 22번은 넓이를 정리한 뒤 부등식의 등호 조건까지 확인해야 합니다.

자동 분류 기준 어려움은 객관식 후반에 집중되지만 서술·단답형 전체가 같은 난도는 아닙니다. 19번은 쉬움, 20·22번은 보통이므로 앞에서 오래 고민하다 이 문항들의 시간을 잃지 않도록 하세요. 자동 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 연결

순열조합은 2·3·5·9·11·13·21번에 분포합니다. 조합 기호와 합의 법칙에서 시작해 여사건, 도형 선택, 좌석 배치와 분배로 확장됩니다. 문제마다 공식을 새로 찾기보다 무엇을 먼저 선택하고 무엇을 나중에 배열하는지 설명하는 연습이 효과적입니다.

무리함수와 유리함수는 그래프 해석이 중심입니다. 무리함수는 시작점과 정의역, 역함수의 대칭성, 구간별 치역을 다루고 유리함수는 평행이동과 점근선, 직선과의 교점, 넓이 조건으로 연결됩니다. 점근선이나 시작점을 먼저 표시하면 불필요한 전개를 줄일 수 있습니다.

함수와 합성함수와역함수는 대응의 구조를 확인하는 단원입니다. 12번은 합성 순서를 바꾸어도 같은 조건, 17번은 반복 합성 후 원래 원소로 돌아오는 조건을 해석합니다. 단원 표의 분류를 따르되 실제 학습에서는 함수의 개수와 순열조합을 연결해 준비하세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 문항 수는 같고 중간 난도 구성이 변화

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준 쉬움은 6문항에서 9문항으로 늘고 보통은 10문항에서 6문항으로 줄었습니다. 어려움은 7문항에서 8문항으로 늘어 기본 구간과 어려운 구간을 나누어 대비할 필요가 있습니다.

순열조합은 두 해 모두 7문항으로 가장 많습니다. 무리함수는 3문항에서 5문항, 유리함수는 4문항에서 5문항으로 늘었고 합성함수와역함수는 5문항에서 3문항으로 줄었습니다. 단원 분류상 비중은 달라졌지만 올해도 무리함수와 유리함수에서 역함수 성질이 연결되므로 이를 따로 떼어 공부하지 마세요.

작년의 어려움 문항은 13·15·16·17·18·21·23번이고 올해는 12·14·15·16·17·18·21·23번입니다. 서술·단답형의 어려움 위치는 같으며 객관식에서는 더 이른 번호부터 등장합니다. 다음 시험 준비에서는 기본 문제의 안정성과 후반 그래프 조건의 해석을 함께 점검하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 바탕으로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 먼저 구조를 정하고 계산 뒤에 후보를 걸러야 합니다. 풀이 시작에 분류 기준을 쓰고 끝에 원래 조건을 다시 확인하는 연습이 필요합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 개념과 접근법이 바로 보이는 문항부터 확보하세요. 12번 이후 대응이나 그래프 분류가 길어지면 표시하고 다른 문제를 확인하는 편이 좋습니다. 서술·단답형을 마지막까지 남기기보다 19번의 끝점 비교와 20번의 일대일 조건처럼 익숙한 구조를 먼저 찾아보세요.

함수 문항에서는 정의역, 치역, 경계의 포함 여부를 별도로 표시하세요. 10번은 치환 변수의 범위, 16번은 나누어진 치역의 연결, 20번은 치역이 공역에 포함되는 조건이 중요합니다. 계산이 끝나도 얻은 값이 해당 구간에서 나온 것인지 돌아가 확인해야 합니다.

경우의 수는 분류의 중복과 누락을 점검하는 시간을 남기세요. 13번은 어느 줄에 앉는지를 기준으로 나누고 21번은 사탕을 받는 학생의 중복 여부로 나눕니다. 검토할 때는 계산을 반복하기보다 구별되는 물건에만 순서를 붙였는지, 최소 수령 조건을 모든 경우에 반영했는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 정의역·공역·치역과 같은 함수의 뜻을 먼저 정리하세요. 각 조건을 말로 설명한 뒤 식으로 옮겨 보세요(4·20번 대비).
2. 합성 순서와 역함수의 입력·출력 관계를 익히세요. 대응 그림의 기본형에서 합성 순서 조건과 반복 합성의 순환 구조로 확장하세요(6·7·12·17번 대비).
3. 유리함수의 표준형과 무리함수의 시작점을 스케치하세요. 이동량과 증가·감소를 확인하고 제한된 구간의 최댓값·최솟값까지 연결하세요(1·8·19번 대비).
4. 교점 문제는 그래프와 방정식을 함께 사용하세요. 치환 변수의 범위, 대칭축 밖의 교점, 수평선이 경계에 닿는 경우를 나누어 연습하세요(10·14·15·18번 대비).
5. 일대일성과 일대일대응을 구별하세요. 부분별 단조성뿐 아니라 치역의 겹침과 빈틈을 검사한 뒤 역함수 조건으로 확장하세요(16·20·23번 대비).
6. 경우의 수는 합의 법칙과 곱의 법칙, 여사건에서 시작하세요. 도형 선택과 좌석 배치, 서로 같은 물건의 분배까지 분류 기준을 적으며 풀어 보세요(2·3·5·9·11·13·21번 대비).
7. 그래프에서 도형의 길이와 넓이를 식으로 바꾸세요. 양수 조건과 부등식의 등호 성립 조건을 함께 써서 최솟값의 실현 가능성을 확인하세요(22번 대비).