양정고등학교
2024년 1학년 1학기 기말고사

양정고 1학년 1학기 기말 수학(상)은 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 범위는 여러가지방정식, 여러가지부등식, 평면좌표, 직선의방정식, 원의방정식입니다. 방정식과 부등식의 기본 처리에 좌표도형의 조건 해석이 더해지는 시험입니다.

전반부에서는 평행한 직선의 조건, 연립방정식, 판별식, 원의 중심과 반지름 같은 기본 개념을 확인합니다. 이후에는 내분점과 무게중심을 거리 조건에 연결하거나, 원과 그래프의 교점을 구간별로 판단해야 합니다. 공식의 암기와 함께 어떤 조건에 어떤 공식을 적용할지 고르는 연습이 필요합니다.

원의방정식 비중이 높지만 원의 공식만으로 준비하기는 어렵습니다. 16번에서는 도형의 수직 관계가 근과 계수의 관계로 이어지고, 20번에서는 무게중심과 삼각형의 넓이로 점의 좌표부터 정해야 합니다. 대수와 도형을 따로 공부한 뒤 조건을 연결하는 문제까지 풀어 보세요.

난이도 분포 — 후반부에 연속되는 어려움 문항

쉬움 문항은 1·2·3·4·6번이며, 평행 조건이나 중점 공식처럼 출발점이 비교적 분명합니다. 다만 3번의 판별식 경계와 6번의 반지름 조건은 구분해야 합니다. 부등호에 등호를 넣을 수 있는지 확인하는 습관이 초반부터 필요합니다.

보통 문항인 5·7·8·9·10번은 기본 개념을 연결하는 구간입니다. 접선과 다른 원의 위치 관계, 좌표의 복원, 허근의 거듭제곱 주기, 거리비가 만드는 자취처럼 계산 전 구조를 정리하면 풀이가 짧아집니다.

11~20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 정수해의 개수나 도형의 교점처럼 계산 뒤에도 경우를 검토해야 하는 문제가 이어집니다. 이 분포는 자동 분류 결과이므로 실제 응시자의 체감과 같다고 단정할 수는 없지만, 후반 검토 시간을 확보해야 하는 구성임은 확인할 수 있습니다.

출제 단원 — 원의방정식과 다른 개념의 연결

원의방정식은 기본형과 응용형을 함께 다룹니다. 4·6번에서 중심과 원의 성립 조건을 확인한 뒤 5·12·17번에서는 점과 직선 사이의 거리를 활용합니다. 18번의 교점 판단과 20번의 외접원 구성까지 준비하려면 좌표식과 간단한 그림을 함께 쓰는 연습이 좋습니다.

여러가지방정식은 연립방정식에서 허근, 복이차방정식으로 이어집니다. 여러가지부등식은 항상 성립하는 조건과 정수해 개수 문제를 구별해야 합니다. 직선의방정식과 평면좌표의 문항 수는 상대적으로 적지만, 거리·내분·무게중심은 원의방정식 문제에도 쓰이므로 기본기를 함께 다져야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 원의방정식 비중의 확대

작년과 올해는 같은 수학(상) 시험이며 총 문항과 서술·단답형 수가 같습니다. 자동 분류 기준으로 쉬움은 같고, 보통은 줄고 어려움은 늘었습니다. 작년에는 어려움이 10번에서 시작하되 11·12번은 보통이었고, 올해는 11번부터 마지막까지 어려움이 연속됩니다.

원의방정식은 작년 5문항에서 올해 9문항으로 늘었습니다. 여러가지부등식은 5문항에서 3문항, 평면좌표는 4문항에서 2문항, 직선의방정식은 3문항에서 2문항으로 줄었고 여러가지방정식은 3문항에서 4문항으로 늘었습니다. 다음 시험 준비에서는 원과 직선의 거리 및 교점 해석을 우선 연습하되, 이를 뒷받침하는 좌표와 근의 관계까지 연결하세요. 이 변화가 다음 시험에도 그대로 이어진다고 예측할 근거는 없습니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표 순위가 아니라 조건 연결과 검증 과정에 근거해 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 처음 주어진 조건을 바로 최종 계산에 사용할 수 없고, 중간 관계를 만들어야 합니다. 풀이를 복습할 때는 각 조건이 어느 단계에서 사용되었는지 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

전반부에서는 풀이 구조가 보이는 문제부터 처리하고 검산을 짧게 붙이세요. 8번의 주기나 10번의 자취에서 식 정리가 길어지면 표시한 뒤 다음 문제를 확인하는 연습이 좋습니다. 후반에 어려움이 몰려 있으므로 초반 계산을 여러 번 반복하는 방식은 피하세요.

11~18번에서는 긴 계산에 들어가기 전에 접근 경로를 적어 보세요. 구간을 나눌지, 거리 공식을 쓸지, 근과 계수의 관계를 쓸지 정하는 것이 우선입니다. 서술·단답형 19·20번을 살펴볼 시간도 남기고, 연습할 때는 조건 해석과 계산에 걸리는 시간을 따로 기록하세요.

마지막 검토는 경계와 중복을 중심으로 하세요. 5번은 만나지 않는 조건의 엄격한 부등호, 6번은 반지름의 양수 조건, 11·15번은 정수 범위의 양 끝이 중요합니다. 18번은 구간 밖 교점과 꼭짓점 중복, 19번은 매개변수 중복을 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 평행 조건, 중점, 원의 표준형을 복습하세요. 공식을 쓴 뒤 서로 다른 직선인지와 반지름이 양수인지까지 확인하세요(1·4·6번 대비).
2. 연립방정식과 삼차식 인수분해를 익히세요. 허근이 만족하는 관계를 거듭제곱의 주기와 부호 조건으로 연결하세요(2·8·9번 대비).
3. 부등식은 판별식, 구간의 공통부분, 자연수 범위 순으로 연습하세요. 경우가 바뀌는 경계와 끝점 포함 여부를 표시하세요(3·11·15번 대비).
4. 내분점과 무게중심으로 좌표를 복원하세요. 거리와 넓이 조건을 추가해 후보를 구하고 위치 조건으로 검증하세요(7·14·20번 대비).
5. 원과 직선의 위치 관계를 거리로 해석하세요. 접선, 거리비 자취, 움직이는 중심과 절편의 넓이 관계로 확장하세요(5·10·12·17번 대비).
6. 도형과 방정식이 결합된 문제를 마무리하세요. 최소거리의 함수 표현, 교점의 근 관계, 구간별 교점 검증과 중복 제거를 연습하세요(13·16·18·19번 대비).