양정고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

양정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 유리함수, 합성함수와역함수, 무리함수입니다. 순열과 조합의 기본 계산부터 함수의 그래프와 역함수의 존재 조건까지 다루고 있습니다.

앞부분에서는 순열·조합 기호의 의미, 역함수의 함숫값, 유리식의 계산, 무리함수의 시작점처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 뒤로 갈수록 그래프의 교점 조건을 방정식으로 바꾸거나, 조각별 함수의 치역을 비교하거나, 서로 다른 경우를 빠짐없이 세어야 합니다.

단원별 공식을 각각 외우는 것만으로는 후반 문제를 처리하기 어렵습니다. 역함수 조건이 경우의 수와 연결되는 13번, 유리함수와 일대일함수가 연결되는 14번처럼 개념 사이를 오가는 풀이가 필요합니다. 풀이가 길어질수록 처음의 조건을 끝까지 보존하는 습관을 들이세요.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 서술·단답형

쉬움으로 분류된 1·2·3·4·7번은 기본 기호와 식, 그래프의 핵심 정보를 확인하는 구간입니다. 다만 3번에서는 수의 크기 제한을 먼저 적용해야 하고, 4번에서는 약분 전 분모 조건을 남겨야 합니다. 익숙한 계산이라는 이유로 조건 확인을 생략하지 마세요.

보통 문항인 5·6·8·9·12번은 배열 조건, 그래프의 부호, 평행이동, 합성과 역함수, 일대일대응을 다룹니다. 특히 8번은 교점이 없다는 조건을 실근의 존재 여부로 바꾸는 과정이 필요합니다. 12번도 단순한 역함수 계산보다 정의역·공역·치역을 구별하는 개념 판단이 중요합니다.

10·11번 이후 12번을 제외한 후반 문항은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 이는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수는 없습니다. 다만 경우 분류와 그래프 검토가 이어지므로 한 문제에서 오래 멈추면 서술·단답형을 검토할 시간이 부족해질 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합과 유리함수, 역함수 조건의 연결

순열조합은 기본 기호 계산에서 숫자 배열, 이웃 조건, 범위가 제한된 자연수, 점수 배분으로 이어집니다. 10번은 자릿수의 조건에 따라 가능한 숫자가 달라지고, 17번은 특정 점수를 받는 문항의 선택과 나머지 점수 배정을 구별해야 합니다. 무엇을 고른 뒤 무엇을 배열하는지 순서를 분명히 하세요.

유리함수는 유리식의 연산에서 점근선과 그래프 해석, 평행이동, 일대일함수, 직선과의 위치 관계까지 확장됩니다. 6번에서 그래프를 식의 부호로 읽는 연습이 14번의 구간별 치역 비교에 도움이 됩니다. 18번에서는 교점의 좌표를 거리와 넓이 조건으로 옮겨야 하므로 좌표 계산과 도형 해석을 함께 연습하세요.

무리함수에는 자동 분류 기준 어려움인 11·15·16번이 포함됩니다. 합성식을 정리한 뒤 부등식을 해석하거나, 절댓값으로 나뉜 그래프를 보거나, 역함수와의 대칭을 이용합니다. 합성함수와역함수의 기본 성질을 따로 끝내지 말고 유리함수·무리함수 문제 안에서도 다시 적용해 보세요.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항이며 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통점은 계산 뒤에도 범위와 위치 조건으로 돌아가야 한다는 것입니다. 식을 세울 때 조건을 함께 적고, 후보를 얻은 뒤 그 조건으로 걸러 내는 과정을 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 기본 계산과 그래프 정보가 바로 보이는 문항을 먼저 확보하세요. 10·11번에서 경우 분류가 길어지면 표시해 두고 12번을 확인하는 운영이 가능합니다. 서술·단답형 16~18번은 객관식과 다른 단원을 다루므로, 객관식을 모두 끝낸 뒤에만 읽기보다 전체 구조를 미리 살펴 접근 가능한 문항을 찾으세요.

함수 문제의 검토 기준은 정의역과 부호입니다. 4·8·14번은 원래 분모에서 제외되는 값을 남겨 두고, 11번은 음수로 나누는 순간 부등호 방향을 확인하세요. 15번에서는 절댓값을 나눈 구간과 제곱의 부호 조건을, 16번에서는 역함수의 대칭과 대칭축 밖 교점의 가능성을 따로 점검하는 것이 좋습니다.

경우의 수는 긴 계산에 들어가기 전에 분류 기준을 짧게 쓰세요. 10번은 자릿수와 경계, 13번은 이미 정해진 대응, 17번은 문항 선택과 점수 배정이 기준입니다. 연습할 때에는 조건을 해석하는 시간과 실제로 세는 시간을 구별해 기록하고, 검산에서는 각 경우가 서로 겹치지 않으며 빠진 경우도 없는지 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열과 조합의 의미, 곱의 법칙을 기본 배열에 적용하세요. 가장 높은 자리를 먼저 정하는 이유와 묶음 내부의 순서를 설명해 보세요(1·3·5번 대비).
2. 역함수의 입력과 출력, 합성 순서를 대응 관계로 정리하세요. 일대일성과 일대일대응을 구별하고 치역이 공역을 채우는지도 확인하세요(2·9·12번 대비).
3. 유리식의 계산과 유리함수의 기본형을 연결하세요. 분모 조건과 점근선을 표시한 뒤 그래프의 위치를 계수의 부호로 옮겨 보세요(4·6·8번 대비).
4. 무리함수의 시작점과 정의역을 확인한 뒤 합성과 절댓값을 결합하세요. 제곱하기 전 부호, 치환 후 범위, 역함수 그래프의 대칭을 점검하세요(7·11·15·16번 대비).
5. 경우 나누기는 경계 조건이 바뀌는 지점을 기준으로 연습하세요. 함수의 대응이나 점수 배분에서도 선택과 배정의 단계를 분리해 적으세요(10·13·17번 대비).
6. 조각별 함수의 치역 비교와 좌표를 이용한 도형 해석을 마무리하세요. 구간별 그래프와 점의 위치를 먼저 그린 뒤 식을 세우고 조건 누락을 검토하세요(14·18번 대비).