양정고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

양정고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

양정고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 자료에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 정의와 기본 계산부터 그래프의 위치 관계, 조건이 있는 경우의 수까지 범위가 이어집니다.

초반에는 순열·조합 기호, 근호 안의 조건, 같은 함수의 뜻처럼 개념을 바로 적용하는 문항이 나옵니다. 중반부터는 일대일대응에서 남은 함숫값을 결정하거나 역함수 관계를 합성식으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 개념을 알고 있는지와 주어진 조건을 풀이에 연결할 수 있는지를 함께 점검하는 구성입니다.

후반의 부담은 단순한 계산량보다 조건의 겹침에 있습니다. 격자점에서 직선을 세거나 좌석을 배치할 때는 같은 대상을 여러 번 세지 않아야 합니다. 그래프 문항은 식을 변형한 뒤에도 원래 정의역과 부호 조건을 유지해야 하며, 서술·단답형에서는 구간을 나눈 이유를 설명하는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 초반 개념 확인과 후반 조건 분류

쉬움은 1~6번에 모여 있습니다. 순열과 조합의 정의, 무리식이 실수가 되는 범위, 함수의 대입, 유리함수의 점근선이 주요 내용입니다. 풀이가 짧더라도 기호가 정의되는 조건과 범위의 공통부분을 생략하면 실수할 수 있습니다.

7~11번은 보통으로 분류됩니다. 항등함수와 상수함수의 구별, 색칠 순서, 역함수와 반복 합성, 무리함수와 직선의 교점 등에서 조건을 한 단계 더 해석해야 합니다. 특히 11번은 제곱해서 얻은 방정식의 근이 원래 식을 만족하는지 확인하는 과정이 중요합니다.

자동 분류 기준 어려움은 12번에서 시작해 후반에 집중됩니다. 다만 16번과 20번은 보통이므로 앞 문항에서 막혔다고 뒤까지 어렵다고 판단하지 마세요. 분류는 실제 응시자의 체감 난도를 확정하는 자료가 아니며, 익숙한 유형과 조건 정리 능력에 따라 풀이 부담은 달라질 수 있습니다.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 조건의 연결

순열조합은 기본 기호와 대표 선발에서 시작해 색칠, 격자점이 정하는 직선, 이웃하지 않는 좌석 배치, 자연수의 개수와 배열 순서로 확장됩니다. 같은 단원이라도 먼저 대상을 고르는지, 고른 뒤 순서를 정하는지에 따라 풀이가 달라집니다. 공식 선택 전에 무엇을 서로 다른 경우로 셀지 적어 보세요.

함수와 합성함수와역함수는 정의역의 원소별 대응, 일대일대응, 역함수의 성질, 반복 합성과 구간별 합성을 다룹니다. 12번은 자연수의 구조를 이용한 규칙 해석이 필요하고, 19번은 안쪽 함숫값이 바깥 함수의 어느 구간에 속하는지 다시 나누어야 합니다.

유리함수와 무리함수에서는 그래프의 모양만 외워서는 부족합니다. 14번은 점근선·치역·사분면을 연결하고, 17번은 영역 안의 정수 좌표를 세며, 18번은 절댓값과 정의역을 함께 처리합니다. 기본 그래프를 그린 뒤 부등식으로 조건을 옮기는 연습을 권합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 어려움 감소와 순열조합 비중 확대

작년과 올해는 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 작년보다 줄었고 총 문항은 늘었으므로, 어려움의 비중도 낮아졌습니다. 서술·단답형은 줄었지만 객관식 후반의 조건 해석이 남아 있어 서술형 개수만으로 준비 부담을 판단하기는 어렵습니다.

겹치는 단원을 보면 순열조합은 작년보다 늘었고, 유리함수와 무리함수는 줄었으며, 합성함수와역함수는 같습니다. 작년에는 순열조합과 유리함수가 공동으로 가장 많았지만 올해는 순열조합이 가장 많습니다. 다음 대비에서는 경우의 수의 기본형과 중복을 보정하는 유형을 함께 연습하세요.

작년의 어려움 문항은 10·11·13~18번이고 서술·단답형도 모두 어려움에 속했습니다. 올해는 12~15·17~19번이 어려움이며 20번은 보통입니다. 두 해 모두 후반의 조건 검토가 중요하지만, 올해 구성에서는 마지막 문항까지 먼저 살펴 풀 수 있는 문제를 확보하는 전략이 더 분명하게 드러납니다.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이들은 이용자 투표 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 조건을 다른 표현으로 옮긴 뒤 원래 조건과 대조해야 합니다. 식 변형으로 후보를 얻는 단계와 후보가 실제로 허용되는지 확인하는 단계를 구분해 연습하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본형을 정확하게 처리하고 7~11번에서 조건을 간단히 정리하세요. 12~15번에서 분류 기준이 떠오르지 않으면 표시한 뒤 16번과 서술·단답형도 확인하세요. 객관식 후반에 오래 머물다가 마지막 문항을 읽을 시간을 잃지 않도록 전체를 훑는 연습이 필요합니다.

서술·단답형은 출발 조건을 짧게 기록하면 검토하기 쉽습니다. 19번은 입력 구간과 안쪽 함수의 출력 범위를 나란히 쓰고, 20번은 자리별 허용 숫자와 배수 조건을 먼저 정리하세요. 풀이 연습 때 조건 정리와 계산에 걸린 시간을 따로 확인하면 어느 부분을 줄여야 하는지 알 수 있습니다.

마지막 검토에서는 식의 계산보다 조건 누락을 먼저 살피세요. 11번은 제곱 전 부호, 13번은 같은 직선의 중복, 15번은 자리 선택과 사람 배치의 구별이 핵심입니다. 17번은 정수 경계, 18번은 정의역에서 빠지는 점과 중근, 19번은 구간 끝점의 포함 여부를 다시 확인하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호의 정의와 여사건을 복습하세요. 순서를 구별하는지와 제외할 경우가 무엇인지 먼저 적으세요(1·5번 대비).
2. 함수의 종류와 일대일대응을 원소별 대응표로 정리하세요. 사용한 함숫값을 지우며 남은 값에 조건을 적용하세요(3·7·16번 대비).
3. 합성함수와 역함수는 입력과 출력을 화살표로 연결하세요. 반복 합성은 순환을 찾고, 구간별 합성은 안쪽 출력으로 다시 분할하세요(4·9·10·19번 대비).
4. 유리함수와 무리함수의 기본 그래프에서 정의역·치역·점근선을 표시하세요. 직선과 만나는 문제에서는 변형 전 부호와 제외점을 확인하세요(2·6·11·14·18번 대비).
5. 경우의 수는 색칠 순서, 같은 직선의 중복, 이웃하지 않는 자리 선택을 구별해 연습하세요. 대상 선택과 순서 부여를 따로 기록하세요(8·13·15번 대비).
6. 정수와 자연수 조건을 분류 기준으로 바꾸세요. 홀짝과 반복 규칙, 영역의 정수 경계, 자리별 나머지 분류를 차례로 익히세요(12·17·20번 대비).