개포고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

개포고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

개포고등학교는 서울 강남구에 있습니다. 이 회차에서 확인되는 출제 단원은 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 기본 정의를 실제 대응과 그래프 조건으로 적용하는 문제와 경우의 수 문제가 함께 구성되어 있습니다.

함수에서는 역함수의 식을 구하는 계산에 앞서 역함수가 존재할 조건을 해석해야 합니다. 유한집합에서는 대응이 빠짐없이 이루어지는지, 구간별 함수에서는 서로 다른 입력이 같은 출력을 만들지 않는지 확인해야 합니다. 그래프에서도 방정식으로 바꾸기 전 정의역과 치역을 구분하는 일이 중요합니다.

순열조합은 기본적인 선택·배열에서 출발해 중복 보정과 조건부 선택으로 이어집니다. 자동 분류 기준 보통인 문항에서도 무엇을 같은 경우로 볼지 정해야 합니다. 함수와 경우의 수를 따로 암기하기보다, 조건을 표나 구간 또는 서로 겹치지 않는 경우로 정리하는 연습이 도움이 됩니다.

난이도 분포 — 초반부터 등장하는 함수 조건 해석

쉬움은 1·4·6번입니다. 같은 함수의 정의, 양 끝의 자리 제한, 순서를 따지지 않는 대표 선택처럼 기본 개념을 직접 적용합니다. 이 문항에서는 계산을 서두르기보다 공집합 제외나 순서의 유무를 짧게 확인해 실수를 줄이세요.

보통은 3·5·11·12·13·14·16·21번입니다. 무리함수의 이동과 역함수, 직선의 중복 계산, 이웃 조건의 여사건 등 접근법을 골라야 하는 문제들이 포함됩니다. 특히 21번은 서술·단답형이지만 보통으로 분류되어 있으므로 객관식을 모두 끝낸 뒤에야 살펴보는 운영은 피하는 편이 좋습니다.

어려움은 2·7·8·9·10·15·17·18·19·20·22번입니다. 대응 조건을 연쇄적으로 적용하거나 해의 개수와 범위를 동시에 검토합니다. 번호가 커질수록 일괄적으로 어려워지는 배열은 아니므로, 자동 분류 기준의 분포를 참고하되 자신이 풀이 구조를 찾을 수 있는 문항부터 해결하세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수 단원의 부담

순열조합은 가장 많은 단원이지만 난이도는 고르게 다르며, 어려움은 17번입니다. 4·6번의 기본형을 바탕으로 5번의 수형도, 12번의 중복 보정, 13번의 묶음과 여사건, 14번의 홀짝 분류를 익혀야 합니다. 문항 수가 많다는 이유로 복잡한 경우의 수만 연습하면 기본형에서 시간을 낭비할 수 있습니다.

합성함수와역함수의 2·7·8·9·19·22번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 집합의 대응을 확정하는 문제뿐 아니라 도형에서 함수를 만들거나 구간별 함수의 일대일성을 판단하는 문제까지 포함됩니다. 유리함수의 10·15·18·20번도 모두 어려움이며 치역, 교점, 점근선과 도형 조건을 결합합니다.

무리함수의 3·11·16번은 모두 보통입니다. 그래프의 이동, 사분면 조건, 역함수와의 교점을 각각 다루므로 근호 계산만 반복해서는 충분하지 않습니다. 함수의 1번은 같은 함수의 의미를 확인하는 출발점이며, 정의역을 먼저 보는 습관이 이후 함수 문제에도 이어집니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 단원 구성은 비슷하고 어려움 분류는 감소

작년과 올해 모두 수학(하)입니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 18문항에서 올해 11문항으로 줄었고, 보통은 2문항에서 8문항으로 늘었습니다. 쉬움은 3문항으로 같으며, 서술·단답형은 작년 18·19·20·21번에서 올해 21·22번으로 구성이 달라졌습니다.

순열조합 8문항, 합성함수와역함수 6문항, 유리함수 4문항, 무리함수 3문항은 두 해가 같습니다. 함수는 작년 2문항에서 올해 1문항으로 줄었습니다. 단원별 문항 수가 비슷해도 요구하는 조건 처리 수준과 난이도 분포가 같지는 않다는 점을 확인할 수 있습니다.

작년에는 1~4번부터 어려움으로 분류되었고 쉬움은 18~20번에 놓였습니다. 올해는 쉬움이 1·4·6번에 있으나 2번부터 어려움이 등장합니다. 다음 시험을 준비할 때도 번호 순서로 난도를 예상하기보다 기본형을 빠르게 찾고, 합성함수와 유리함수의 조건 해석을 별도로 연습하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 자동 분류 기준 어려움에 속하며, 조건을 처리하는 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 이용자 투표로 확인된 난도 순위는 아닙니다. 공통적으로 첫 계산보다 조건을 어떤 순서로 적용할지 정하는 일이 중요하므로, 풀이 전에 치역·분류 기준·기준점을 짧게 적어 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 같은 함수의 정의와 기본 순열·조합을 확인할 수 있는 1·4·6번을 안정적으로 처리하세요. 2번에서 대응 후보가 길어지면 표시하고 뒤 문항을 살펴보세요. 7~10번에 어려움이 이어지지만 11~14번은 보통으로 분류되어 있으므로, 앞의 정체가 뒤의 접근 가능한 문제까지 막지 않게 연습하세요.

서술·단답형을 위한 시간을 미리 남겨 두세요. 21번은 선택과 대응을 나누어 쓰면 풀이를 정리할 수 있고, 22번은 구간별 증가·감소를 판단하는 근거가 중요합니다. 연습할 때 계산을 시작하기까지 걸리는 시간과 계산 시간을 구별해 기록하면, 개념 복습이 필요한지 경우 정리 연습이 필요한지 판단하는 데 도움이 됩니다.

마지막 검토에서는 1번의 공집합 제외, 11번의 사분면과 열린 끝점, 12번의 같은 직선 중복을 확인하세요. 15번은 역함수에 넣는 값이 치역에 있는지, 18번은 분모가 사라지는 입력을 제외했는지와 방정식의 차수가 바뀌는 경우를 확인하세요. 22번에서는 각 구간의 성질만 확인하고 전체 일대일성을 놓치지 마세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 같은 함수와 역함수의 정의부터 확인하세요. 정의역·치역과 입력·출력의 역할을 말로 설명한 뒤 조건을 바꾸어 써 보세요(1·3번 대비).
2. 선택과 배열을 구분하는 기본형을 익히세요. 자리 제한은 먼저 배치하고, 순서를 정하지 않는 선택에는 조합을 적용하세요(4·6번 대비).
3. 수형도, 중복 보정, 여사건, 홀짝 분류를 차례로 연습하세요. 각 경우가 겹치지 않는 이유를 적어 보세요(5·12·13·14·17번 대비).
4. 유한집합의 함수는 대응표로 정리하세요. 이미 사용한 출력과 남은 출력을 표시하고 합성 관계를 입력별로 대조하세요(2·7·8·9·21번 대비).
5. 함수 그래프는 정의역과 치역을 먼저 표시하세요. 구간별 치역, 역함수의 존재, 교점의 개수와 근의 부호를 연결하세요(10·11·15·16·18·22번 대비).
6. 도형 조건을 함수와 좌표로 바꾸는 연습으로 마무리하세요. 이동 경로의 경계와 기준점을 먼저 잡은 뒤 넓이·거리 관계를 정리하세요(19·20번 대비).