진명여자고등학교
2022년 1학년 2학기 기말고사

진명여고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

진명여자고등학교는 서울 양천구에 있습니다. 이 자료에서 확인되는 출제 범위는 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수, 순열조합입니다. 함수의 뜻과 식의 계산을 확인한 뒤 그래프·역함수·경우의 수를 결합하는 시험입니다.

유리함수와 무리함수에서는 그래프의 모양을 아는 것에서 더 나아가야 합니다. 점근선과 정의역의 끝점, 역함수의 대칭성을 이용해 직선이나 도형과의 관계를 해석합니다. 식을 모두 구해서 대입하기보다 그래프에서 먼저 확보할 관계가 있는지 살펴보세요.

일대일대응도 여러 맥락에서 등장합니다. 유한집합의 함수를 세는 12번, 유리함수의 정의역과 치역을 맞추는 14번, 자연수 정의역에서 역함수 존재를 따지는 22번은 같은 개념을 서로 다른 방식으로 적용합니다. 정의를 외운 뒤 각 조건이 그 정의의 어느 부분에 해당하는지 설명할 수 있어야 합니다.

난이도 분포 — 후반의 조건 해석과 기본형 확보

쉬움 문항은 1~4번과 7·17·18번입니다. 함수의 뜻, 같은 함수의 조건, 합성함수 대입과 순열·조합 기호 같은 기본기를 확인합니다. 서술·단답형에도 쉬움 문항이 있으므로 객관식의 어려운 문제에 오래 머물며 뒤쪽 기본형을 놓치지 않도록 하세요.

보통 구간에서는 평행이동과 사분면, 무리함수와 직선의 위치 관계, 역함수와 원의 대칭성 등을 다룹니다. 8·13번처럼 역함수의 식을 직접 구하지 않아도 대칭 관계를 활용할 수 있는 문항이 있어, 계산 방법 선택에 따라 풀이 길이가 달라집니다.

어려움 문항은 12·14·15·16·20·21·22번입니다. 경우 분류, 그래프 복원, 도형 조건의 좌표화가 주요 부담입니다. 이 분포는 자동 분류 기준이며 실제 응시자의 체감 난도와 같다고 단정할 수 없습니다. 학습할 때는 막힌 이유를 개념 부족과 조건 연결의 어려움으로 구분해 기록하세요.

출제 단원 — 유리·무리함수의 그래프와 대응 조건

가장 많은 무리함수는 식의 계산부터 직선·원·역함수와의 관계까지 이어집니다. 17번의 근호 계산을 바탕으로 5·10번에서 정의역과 그래프 방향을 익히고, 13·15·20번에서 대칭이나 길이 조건을 연결하는 순서로 복습하면 좋습니다.

유리함수는 1번의 유리식 판별, 9번의 이동과 사분면, 14번의 정의역·치역, 21번의 도형 관계로 확장됩니다. 점근선의 교점과 그래프의 대칭성을 별개로 외우지 말고, 좌표를 옮겨 그래프 위의 점을 표현하는 방법까지 연습하세요.

순열조합에서는 선택과 배열을 구별하고 제한 조건을 경우 분류로 바꾸는 능력이 필요합니다. 함수 단원의 12번도 일대일대응의 개수를 세므로 경우의 수 학습과 연결됩니다. 합성함수와역함수는 단순 대입에서 구간별 그래프와 자연수 정의역의 조건 판단까지 준비해야 합니다.

문항별 정리

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표에 따른 난도 순위가 아니라 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 계산의 결과만 확인해서는 부족하며, 정의역·치역·부호·자연수 조건으로 돌아가야 풀이가 완성됩니다. 복습할 때 각 조건을 어느 단계에서 사용했는지 표시해 보세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 개념과 계산 구조가 바로 보이는 문항을 확보하세요. 12번에서 함수의 개수를 세는 데 시간이 길어지면 경우 분류 기준을 적어 두고 다음 문항을 확인하는 편이 좋습니다. 14~16번을 모두 해결한 뒤에야 서술·단답형을 시작하기보다, 17·18번의 기본형을 먼저 살펴보는 운영을 연습하세요.

그래프 문제에서는 식을 전개하기 전에 정의역, 점근선, 끝점, 증가·감소 방향을 간단히 표시하세요. 10번은 끝점에서의 높이 비교가 유용하고, 13·20번은 역함수의 대칭성이 계산량을 줄여 줍니다. 16번은 구간의 경계와 포함 여부를 먼저 적어 두면 부등식의 해를 옮기는 과정에서 혼동을 줄일 수 있습니다.

마지막 검토에서는 조건과 대응을 집중적으로 보세요. 6·12번은 선택한 원소의 순서를 구별했는지, 14번은 공역 전체를 채우는지, 20번은 제곱 이전의 부호 조건을 만족하는지 점검하세요. 21번은 대각선과 중점의 연결, 22번은 입력이 자연수라는 제한을 다시 확인하는 것이 좋습니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 함수의 뜻과 같은 함수의 조건을 먼저 복습하세요. 정의역의 각 원소에서 출력이 존재하고 공역에 속하는지 확인하는 표를 만들어 보세요(2·3번 대비).
2. 합성함수 대입과 입력 치환을 연습하세요. 안쪽 함수 전체를 괄호로 묶고, 이동된 입력을 원래 변수로 되돌린 뒤 역함수를 구하세요(4·19번 대비).
3. 유리식·무리식의 계산을 정리한 뒤 그래프의 범위를 연결하세요. 점근선, 끝점, 사분면을 표시하고 직선과의 위치를 판단해 보세요(1·5·9·10·17번 대비).
4. 역함수의 대칭성을 도형과 연결하세요. 원이나 직선도 같은 대칭에 대해 어떻게 변하는지 살피고 거리·기울기 관계를 먼저 세워 보세요(8·13·15·20·21번 대비).
5. 경우의 수는 선택, 자리 배치, 개별 원소의 배열을 나누어 연습하세요. 제한 조건별 표를 만들어 중복과 빠진 경우를 확인하세요(6·7·11·12·18번 대비).
6. 일대일대응 조건을 정의역의 종류에 따라 비교하세요. 연속된 구간에서는 실제 치역을, 자연수 집합에서는 같은 출력을 만드는 서로 다른 입력의 존재를 확인하세요(14·22번 대비).
7. 구간별 함수는 그래프를 복원한 뒤 부등식의 해를 읽는 순서로 연습하세요. 경계의 포함 여부와 합성 과정에서 바뀌는 입력 범위를 함께 기록하세요(16번 대비).