서현고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

서현고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

서현고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 단원은 순열조합, 무리함수, 유리함수, 집합, 함수입니다. 순열과 조합의 기본 계산부터 조건부 배열과 분배, 함수의 대칭과 교점, 집합의 원소 수까지 다룹니다.

경우의 수에서는 공식을 아는 것만큼 무엇을 하나의 경우로 볼지 정하는 일이 중요합니다. 동시에 고르는 카드, 자리가 구별되는 배치, 문제별로 학생을 나누는 분배는 세는 대상이 다릅니다. 조건을 만족하지 않는 경우를 전체에서 빼는 방법과 직접 나누어 세는 방법을 상황에 맞게 선택해야 합니다.

함수에서는 식을 표준형으로 바꾸어 대칭의 중심과 점근선을 읽고, 정의역 제한을 반영해 그래프의 실제 부분을 판단해야 합니다. 자동 분류 기준 어려움 문항은 여러 단원에 걸쳐 있어 한 유형에만 익숙해서는 대응하기 어렵습니다. 풀이의 첫 기준을 글이나 그림으로 남기는 연습이 필요합니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

쉬움은 1~3번으로 순열·조합 기호, 무리함수의 평행이동, 제한된 자리의 배열을 확인합니다. 보통인 4·5번에서는 합성과 역함수를 연결해야 합니다. 초반이라도 계산 순서나 이동 방향을 대충 처리하면 이후 검토에 시간을 쓰게 됩니다.

6번 이후에는 난도가 일정하게 높아지는 배열이 아닙니다. 7·9번은 보통으로 분류되어 있으므로 6·8번에서 막히더라도 뒤 문제를 확인하세요. 반면 10~14번은 모두 어려움으로 분류되어 그래프 구간 해석, 함수의 개수, 지수와 집합의 연결을 차례로 처리해야 합니다.

서술·단답형에서는 19번이 보통이고 17·18·20번은 어려움입니다. 분류는 자동 분류 기준이며 개인의 체감과 일치한다고 단정할 수 없습니다. 특히 19번도 치환한 변수의 범위를 확인해야 하므로 보통이라는 이유로 검토를 생략하지 마세요.

출제 단원 — 순열조합의 비중과 함수의 조건 처리

순열조합은 단순한 배열에서 서로소인 카드 선택, 학년과 성별을 고려한 선발, 조건이 붙은 분배와 좌석 배치까지 폭이 넓습니다. 7번은 이웃한 수의 곱이라는 조건을 홀수끼리 이웃하지 않는 조건으로 바꿔야 합니다. 계산 전에 원래 문장을 세기 쉬운 조건으로 번역하는 연습이 효과적입니다.

무리함수는 이동과 합성의 기본형에서 매개변수에 따른 교점 판단으로 확장됩니다. 유리함수는 역함수와 대칭성뿐 아니라 주기적으로 반복되는 그래프와의 교점, 구간별 치역을 이용한 교점 개수까지 다룹니다. 식만 정리하기보다 시작점, 점근선, 끝점 포함 여부를 표시하세요.

집합의 13·20번은 모두 자동 분류 기준 어려움입니다. 13번은 약수의 곱을 소인수의 지수로, 20번은 합집합의 원소 수를 특정 영역에서 골라야 하는 원소 수로 바꾸는 것이 핵심입니다. 함수로 분류된 11번도 일대일대응을 경우의 수와 연결하므로 단원 이름만으로 풀이 방식을 제한하지 마세요.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 같은 구성에서 늘어난 어려움

작년과 올해는 모두 수학(하)이며 총 문항 수와 서술·단답형 구성이 같습니다. 자동 분류 기준 어려움은 작년 8문항에서 올해 11문항으로 늘었고 쉬움과 보통은 줄었습니다. 구성의 변화보다 조건을 여러 단계로 처리하는 문항의 비중 변화에 주목할 필요가 있습니다.

순열조합은 작년 7문항에서 올해 8문항, 무리함수는 2문항에서 5문항으로 늘었습니다. 유리함수는 5문항에서 4문항, 함수는 3문항에서 1문항으로 줄었습니다. 작년에는 합성함수와역함수가 별도 단원으로 3문항 분류되었지만 올해도 4·5번에서 관련 개념을 다루므로 분류표에서 사라졌다고 준비 대상에서 빼면 안 됩니다.

작년 어려움은 12~16번과 18~20번이었으나 올해는 6·8번부터 나타납니다. 서술·단답형도 작년 보통이던 17번이 올해 어려움이고, 작년 어려움이던 19번은 올해 보통입니다. 다음 시험 준비에서는 문항 번호로 난도를 예상하기보다 유형별 출발점을 익히고 전체 시험을 훑는 연습을 하세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 순위가 아니라 풀이 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통적으로 경우를 나누는 기준이 계산보다 먼저 필요합니다. 나눈 경우가 전체를 빠짐없이 덮는지, 경계가 중복되거나 빠지지 않았는지까지 확인해야 합니다.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~5번의 기본 구조를 정확히 처리하고, 6·8번에서 경우 정리가 길어지면 표시한 뒤 진행하세요. 10~14번에 어려움 문항이 이어지므로 이 구간을 끝내야만 서술·단답형을 보겠다는 방식은 부담이 큽니다. 전체를 훑고 접근 가능한 15·19번도 확인하면서 풀이 순서를 정해 보세요.

서술·단답형에서는 계산 전에 분류 기준을 적는 시간을 확보하세요. 17번은 빈 좌석의 위치, 18번은 함수가 정의된 구간과 치역, 20번은 합집합에 새로 더해지는 원소를 먼저 정리합니다. 결과만 쓰는 연습보다 각 경우를 왜 나누었는지 짧게 설명하는 연습이 풀이를 점검하는 데 도움이 됩니다.

마지막 검토는 조건 누락에 집중하세요. 6번은 동시에 꺼낸 카드의 순서를 중복해서 세지 않았는지, 14번은 문제별 인원 조건과 대소 관계를 반영했는지 확인합니다. 12·16·19번은 정의역과 치환 변수의 범위, 18번은 치역의 끝점 포함 여부, 20번은 원소의 곱이 짝수라는 조건을 점검하세요.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합 기호와 곱의 법칙을 복습하세요. 뽑는 순서와 배치하는 자리가 구별되는지 먼저 말로 설명해 보세요(1·3번 대비).
2. 전체에서 제외하는 방법과 빈틈에 배치하는 방법을 비교하세요. 불가능한 경우가 겹치는지 확인하고 조건을 간단한 말로 바꾸세요(7·9·15번 대비).
3. 경우를 나누는 기준을 정해 표로 정리하세요. 큰 수, 집단별 인원, 빈 좌석의 위치를 고정한 뒤 남은 선택을 세어 보세요(6·14·17번 대비).
4. 함수의 이동과 역함수를 연결하세요. 합성의 안쪽 함수부터 값을 읽고 역함수의 값은 원래 함수의 입력을 찾는 문제로 바꾸세요(2·4·5번 대비).
5. 그래프의 시작점·점근선·대칭의 중심을 표시한 뒤 교점 개수를 판단하세요. 치환 후 범위 확인과 치역의 끝점 검사를 포함하세요(8·10·12·16·18·19번 대비).
6. 집합과 함수의 조건을 세기 문제로 바꾸세요. 소인수의 지수, 영역별 원소 선택, 일대일대응의 대응 관계를 각각 정리하세요(11·13·20번 대비).