늘푸른고등학교
2023년 1학년 2학기 기말고사

늘푸른고 1학년 2학기 기말 수학(하)는 어떤 시험인가

늘푸른고등학교는 경기 성남시에 있습니다. 이번 자료에서 확인되는 출제 범위는 순열조합, 함수, 합성함수와역함수, 유리함수, 무리함수입니다. 함수의 기본 정의에서 그래프의 위치 관계와 도형의 넓이까지 연결되며, 경우의 수에서는 연속·이웃 조건에 따른 분류가 등장합니다.

함수 문항은 식에 대입하는 계산만으로 끝나지 않습니다. 합성을 반복했을 때의 관계를 대응의 구조로 읽거나, 역함수와 원래 함수의 대칭을 도형에 적용해야 합니다. 특히 같은 함숫값 조건이라도 정의역과 치역을 먼저 확인해야 하므로 식을 변형하는 속도와 별개로 개념의 적용 범위를 정확히 알아야 합니다.

문항 형식은 facts의 분류를 따라 모두 객관식으로 정리했습니다. 다만 19번 해설에 포함된 발문에는 과정을 논술하라는 표현이 있어 형식 자료와 차이가 있습니다. 여기서는 해당 문항의 수학적 구조를 중심으로 분석하며, 실전 연습에서도 선택만 하기보다 경우를 나눈 근거를 적어 보는 것이 좋습니다.

난이도 분포 — 중반부터 이어지는 조건 해석

1번은 순열과 조합의 기호를 구별해 계산하는 기본형입니다. 보통으로 분류된 2~6번도 연속 숫자의 중복 제외, 역함수 존재 조건, 무리함수와 직선의 접함, 증명의 논리, 함수의 반복 관계처럼 서로 다른 접근법을 요구합니다. 초반에서 개념의 구별을 놓치면 검산에도 시간이 들 수 있습니다.

7~14번은 자동 분류 기준 어려움 문항이 연속됩니다. 대칭성, 주기성, 합성함수의 치환, 도형에서 함수 만들기가 번갈아 나오므로 한 가지 계산 방식을 계속 적용하기 어렵습니다. 15번을 확인한 뒤 16~20번으로 넘어가는 운영을 연습하고, 첫 접근이 보이지 않는 문제는 필요한 조건만 표시해 두세요.

이 분포는 자동 분류 기준이며 응시자의 실제 체감 난도를 확정하는 자료는 아닙니다. 다만 중반 이후에 여러 단계의 판단이 필요한 문항이 집중되어 있으므로, 기본형을 안정적으로 처리하고 재검토 시간을 남기는 준비가 필요합니다.

출제 단원 — 순열조합과 합성·역함수의 두 축

순열조합은 1·2·13·15·17번입니다. 기호 계산에서 출발해 숫자의 연속 제한, 사람의 이웃 조건, 다각형의 변 공유, 사물함 배치로 이어집니다. 공식을 고르기 전에 무엇을 먼저 고정해야 남은 선택이 단순해지는지 판단하세요. 전체에서 제외하는 방법과 직접 경우를 나누는 방법을 비교하는 연습이 유효합니다.

합성함수와역함수는 3·8·11·14·20번입니다. 역함수 존재 여부뿐 아니라 합성된 식의 중간 함숫값 범위, 유한집합의 대응, 구간별 넓이 함수까지 다룹니다. 함수 단원의 9·19번도 대응 관계를 경우의 수로 연결하므로 단원 이름별로 풀이를 따로 외우기보다 정의역·치역·일대일성을 공통 기준으로 정리하세요.

유리함수의 7·10·16번은 모두 어려움으로 분류되어 있습니다. 대칭점과 점근선을 읽고 다른 그래프나 도형 조건을 결합하는 능력이 중요합니다. 무리함수의 4·12·18번에서는 제곱 전 부호 조건과 역함수의 대칭을 함께 점검해야 합니다.

문항별 정리

작년 시험과 비교 — 서술·단답은 줄고 어려움 비중은 증가

작년과 올해 모두 수학(하)이며 총 문항 수는 같습니다. 자료상 서술·단답은 작년 18~20번에서 올해 없는 구성으로 바뀌었지만, 자동 분류 기준 어려움은 8문항에서 13문항으로 늘었습니다. 형식의 변화만으로 풀이 부담이 줄었다고 해석하기 어렵습니다.

공통 단원을 보면 순열조합은 7문항에서 5문항, 무리함수는 4문항에서 3문항으로 줄었습니다. 합성함수와역함수는 4문항에서 5문항, 함수는 1문항에서 4문항으로 늘었고 유리함수는 3문항으로 같습니다. 따라서 경우의 수를 복습하면서도 함수의 대응과 합성 조건을 충분히 연습해야 합니다.

작년 어려움 문항은 6번에서 처음 등장해 11번과 14~18번, 20번에 배치되었고, 올해는 7~14번과 16~20번에 이어집니다. 올해는 중반에서 연속된 어려움 문항을 만나는 흐름이 뚜렷합니다. 다음 시험 준비에서는 함수 조건을 읽는 첫 단계를 반복하고, 풀이가 길어질 때 다른 문항으로 넘어가는 연습도 해 두세요.

주의 문항 — 분석상 고난도 문항 3개

이 문항들은 이용자 투표로 확인된 난도 순위가 아니라 해설의 조건 처리 구조를 근거로 고른 분석상 고난도 문항입니다. 공통점은 하나의 식을 얻은 뒤에도 경계나 경우별 조건으로 돌아가야 한다는 것입니다. 분류표와 간단한 그래프를 먼저 만들고, 계산 결과가 처음 정한 경우에 속하는지 검토하세요.

시간 배분과 놓치기 쉬운 조건

첫 풀이에서는 1~6번의 기본 개념을 정확히 확인하고, 중반에서 막히더라도 15번까지 전체 흐름을 살펴보세요. 10번의 교점 검토나 13·17번의 경우 분류가 길어지면 분류 기준만 적어 두고 다른 문항으로 이동하는 것이 좋습니다. 시험 시간이 자료에 제시되어 있지 않으므로 고정된 분 단위 계획보다 본인의 연습 기록을 바탕으로 재검토 시간을 확보하세요.

함수에서는 식이 정의되는 범위를 먼저 표시하세요. 11번은 원래 함수와 역함수를 합성한 식에 같은 입력을 넣을 수 있는지 확인해야 하고, 8·14번은 중간 함숫값이 다음 함수의 어느 구간으로 들어가는지 중요합니다. 4·12·18번은 제곱 전 부호와 정의역을 남겨 두어야 계산 후 불필요한 후보를 제외할 수 있습니다.

경우의 수에서는 중복과 누락을 별도로 점검하세요. 2번은 금지되는 연속 배열이 겹치는 경우, 13번은 이웃 조건을 동시에 만족하는 자리, 17번은 끝자리와 가운데 자리의 차이를 확인해야 합니다. 19번에서는 치역을 먼저 정했을 때 그 치역의 원소가 어떤 대응을 가져야 하는지 설명할 수 있어야 합니다.

다음 시험 대비 학습 순서

1. 순열·조합의 기호와 합·곱의 법칙을 복습하고, 전체에서 금지된 경우를 빼는 과정의 중복을 확인하세요(1·2번 대비).
2. 함수의 정의역·공역·치역과 일대일함수·일대일대응을 구별하세요. 대응 그림과 짧은 논리 설명을 함께 작성하세요(3·5·9·11번 대비).
3. 함수의 반복 관계와 합성함수의 치환을 연습하세요. 중간 함숫값의 범위와 그래프의 대칭축을 먼저 적으세요(6·8·14번 대비).
4. 유리함수의 대칭점·점근선과 주기 그래프를 함께 비교하세요. 경계 높이에서 접근 방향과 실제 교점 존재를 확인하세요(7·10번 대비).
5. 무리함수와 역함수의 대칭을 이용해 교점과 넓이를 정리하세요. 제곱 전 조건, 유리수 조건, 교점 존재 조건까지 다시 검사하세요(4·12·16·18번 대비).
6. 이웃 조건은 먼저 고정할 대상을 정하고 경우별 표로 분류하세요. 직접 세기와 여사건 방법을 비교하며 누락을 검토하세요(13·15·17번 대비).
7. 합성 조건을 만족하는 함수의 개수와 구간별 역함수 문제로 마무리하세요. 치역의 역할과 구간 선택 근거를 말로 설명해 보세요(19·20번 대비).